センター試験 数学I・数学A 2019年度追試 第3問 解説

【選択問題】(第3問～第5問から2問選択)

問題編

問題

　机が三つあり、各机の上には白のカードが1枚、各机の下には箱が一つ置かれている。いずれの箱の中にも白のカード1枚、青のカード2枚、合計3枚のカードが入っている。次の操作 $S$ を行うため、各机の前に一人ずつ配置する。

　$S$: 机の下に置かれた箱の中から無作為に取り出したカード1枚と、同じ机の上に置かれたカードとを交換することを、3人が同時に行う。

　この操作 $S$ を2回繰り返す。また、状態 A, B を次のように定める。

　$A$: すべての机の上に同色のカードが置かれている。
　$B$: 二つの机の上に同色のカードが置かれ、残りの一つの机の上には別の色のカードが置かれている。

(1) 1回目の終了時に、すべての机の上に白のカードが置かれている確率は $\dfrac{\myBox{ア} }{\myBox{イウ} }$ であり、すべての机の上に青のカードが置かれている確率は $\dfrac{\myBox{エ} }{\myBox{オカ} }$ である。

(2) 1回目の終了時に、状態 $A$ になる確率は $\dfrac{\myBox{キ} }{\myBox{ク} }$ であり、状態 $B$ になる確率は $\dfrac{\myBox{ケ} }{\myBox{コ} }$ である。

(3) 1回目の終了時に二つの机の上に白のカードが置かれ、残りの一つの机の上に青のカードが置かれていたとき、2回目の終了時には状態 $A$ になる条件付き確率は $\dfrac{\myBox{サ} }{\myBox{シ} }$ である。

　また、1回目の終了時に二つの机の上に青のカードが置かれ、残りの一つ机の上に白のカードが置かれていたとき、2回目の終了時には状態 $A$ になる条件付き確率は $\dfrac{\mybox{サ} }{\mybox{シ} }$ である。

(4) 2回目の終了時に状態 $A$ になる確率は $\dfrac{\myBox{ス} }{\myBox{セソ} }$ である。

(5) 2回目の終了時に状態 $B$ になったとき、1回目の終了時も状態 $B$ である条件付き確率は $\dfrac{\myBox{タ} }{\myBox{チツ} }$ である。

考え方

状況や書き方が複雑ですが、やっていること自体はそれほどむずかしくありません。(1)(2)は、状況を正しくつかめていれば答えが出せるでしょう。

(3)から、条件付き確率が出てきて、すこし難しくなります。どういう事象を考えているのか、整理しながら考えていきましょう。また、(4)(5)を解くときにも、すでに解いた問題の中で使える値があるので、うまく利用しましょう。

問題文では、「箱から取り出したカードと机の上にあるカードを交換する」と書いていますが、机に上にあったカードをどうするかは明記されていません。少し不親切ですが、机の上にあったカードは箱に戻すと考えて解いていきましょう。

解答編

問題

　机が三つあり、各机の上には白のカードが1枚、各机の下には箱が一つ置かれている。いずれの箱の中にも白のカード1枚、青のカード2枚、合計3枚のカードが入っている。次の操作 $S$ を行うため、各机の前に一人ずつ配置する。

　$S$: 机の下に置かれた箱の中から無作為に取り出したカード1枚と、同じ机の上に置かれたカードとを交換することを、3人が同時に行う。

　この操作 $S$ を2回繰り返す。また、状態 A, B を次のように定める。

　$A$: すべての机の上に同色のカードが置かれている。
　$B$: 二つの机の上に同色のカードが置かれ、残りの一つの机の上には別の色のカードが置かれている。

(1) 1回目の終了時に、すべての机の上に白のカードが置かれている確率は $\dfrac{\myBox{ア} }{\myBox{イウ} }$ であり、すべての机の上に青のカードが置かれている確率は $\dfrac{\myBox{エ} }{\myBox{オカ} }$ である。

解説

1回目の終了時に、すべての机の上に白のカードが置かれているということは、3つの各机で「箱の中から白のカードを選ぶ」が起こるときなので、\[ \frac{1}{3}\times\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{27} \]となります。

また、すべての机の上に青のカードが置かれるのは、3つの各机で「箱の中から青のカードを選ぶ」が起こるときなので、\[ \frac{2}{3}\times\frac{2}{3}\times\frac{2}{3}=\frac{8}{27} \]となります。

解答

アイウ：127
ウオカ：827

解答編 つづき

(2) 1回目の終了時に、状態 $A$ になる確率は $\dfrac{\myBox{キ} }{\myBox{ク} }$ であり、状態 $B$ になる確率は $\dfrac{\myBox{ケ} }{\myBox{コ} }$ である。

解説

状態 $A$ になるときは、「すべて白」と「すべて青」の場合です。これらは同時には起こらないので、それぞれの確率を足せばいいですね。(1)の答えから、\[ \frac{1}{27}+\frac{8}{27}=\frac{1}{3} \]となります。

状態 $B$ となるのは、「白2枚青1枚」と「白1枚青2枚」の場合です。これらの確率をそれぞれ求める方法もありますが、今の場合はもっと簡単に計算できます。机の上のカードは、「白3」「白2青1」「白1青2」「青3」の場合しかありません。なので、「白2枚青1枚 または 白1枚青2枚」となる確率は、状態 $A$ になる確率を $1$ から引けば求められます。\[ 1-\dfrac{1}{3}=\frac{2}{3} \]となります。

解答

キク：13
ケコ：23

解答編 つづき

(3) 1回目の終了時に二つの机の上に白のカードが置かれ、残りの一つの机の上に青のカードが置かれていたとき、2回目の終了時には状態 $A$ になる条件付き確率は $\dfrac{\myBox{サ} }{\myBox{シ} }$ である。

　また、1回目の終了時に二つの机の上に青のカードが置かれ、残りの一つ机の上に白のカードが置かれていたとき、2回目の終了時には状態 $A$ になる条件付き確率は $\dfrac{\mybox{サ} }{\mybox{シ} }$ である。

解説

問題文では、1回目の操作で、「箱から取り出したカードと机の上のカードを交換する」と書いていますが、机の上にあったカードを箱の中に入れるのかどうかが書かれていません。問題文が不正確ですが、ここでは、机の上にあったカードは箱の中に入れるとして考えていきます。

1回目の終了時に「白2枚、青1枚」だったとします。このとき、2回目の終了時に状態 $A$ となる条件付き確率を考えます。つまり、「白3枚」か「青3枚」になるときを考えます。

まずは「白3枚」となる場合を考えます。机の上に白がある場合、箱の中は白が1枚青が2枚です。机の上に青がある場合、箱の中は白が2枚青が1枚です。なので、「白3枚」となる条件付き確率は\[ \frac{1}{3}\times\frac{1}{3} \times\frac{2}{3}=\frac{2}{27}\]となります。

一方、「青3枚」となる場合は、同様に考えて、\[ \frac{2}{3}\times\frac{2}{3}\times\frac{1}{3}=\frac{4}{27} \]となります。

よって、2回目の終了時に状態 $A$ となる条件付き確率は\[ \frac{2}{27}+\frac{4}{27}=\frac{2}{9} \]となります。

問題文の後半部分は、聞かれてはいませんが同じように計算すれば確かめられます。1回目の終了時に「白1枚、青2枚」だったとき、2回目の終了時に「白3枚」となる条件付き確率は $\dfrac{4}{27}$ で、「青3枚」となる条件付き確率は $\dfrac{2}{27}$ となります。よって、2回目の終了時に状態 $A$ となる条件付き確率は $\dfrac{2}{9}$ となります。

解答

サシ：29

解答編 つづき

(4) 2回目の終了時に状態 $A$ になる確率は $\dfrac{\myBox{ス} }{\myBox{セソ} }$ である。

解説

1回目の終了時点の状態で場合分けをして考えます。

(3)では、「白2青1」「白1青2」から状態 $A$ になるときを考えました。どちらも、条件付き確率が $\dfrac{2}{9}$ でした。このことから、1回目の終了時点で状態 $B$ であり、2回目の終了時点で状態 $A$ となる確率は、(2)の結果も使うと\[ \frac{2}{3}\times\frac{2}{9} \]で表されます。

これは、次のように考えてみましょう。1回目の終了時が「白2青1」「白1青2」となる事象を、それぞれ、 $C, D$ とおくと、
\begin{eqnarray} & & P(C)\cdot P_C(A)+P(D)\cdot P_D(A) \\[5pt] &=& \frac{2}{3}(P(C)+P(D))=\frac{2}{3}P(B) \end{eqnarray}となります。記号は、 $P_X(A)$ は1回目が $X$ のときに2回目終了時に状態 $A$ となる条件付き確率、 $P(B)$ が1回目終了時に状態 $B$ になる確率を表しています。このように考えれば、上の計算式 $\dfrac{2}{3}\times\dfrac{2}{9}$ がわかるでしょう。

残りの場合を考えます。

1回目の終了時に机の上が「白3枚」となっているとき、箱の中は、「白1枚青2枚」なので、2回目の終了時に白3枚となる条件付き確率は\[ \frac{1}{3}\times\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{27} \]であり、青3枚となる条件付き確率は\[ \frac{2}{3}\times\frac{2}{3}\times\frac{2}{3}=\frac{8}{27} \]です。なので、このときに、2回目の終了時に $A$ となる条件付き確率は、 $\dfrac{1}{27}+\dfrac{8}{27}=\dfrac{1}{3}$ です。

一方、1回目の終了時に机の上が「青3枚」となっているとき、箱の中は、「白2枚青1枚」なので、同じように計算すれば、2回目の終了時に $A$ となる条件付き確率は、 $\dfrac{1}{3}$ となることがわかります。

以上のことと(1)の結果から、2回目の終了時に状態 $A$ となる確率は
\begin{eqnarray} & & \dfrac{1}{27}\times\frac{1}{3}+\dfrac{2}{3}\times\frac{2}{9}+\dfrac{8}{27}\times\frac{1}{3} \\[5pt] &=& \dfrac{1+12+8}{81} \\[5pt] &=& \dfrac{7}{27} \\[5pt] \end{eqnarray}となります。

解答

スセソ：727

参考

【基本】条件付き確率と積の法則

解答編 つづき

(5) 2回目の終了時に状態 $B$ になったとき、1回目の終了時も状態 $B$ である条件付き確率は $\dfrac{\myBox{タ} }{\myBox{チツ} }$ である。

解説

状態は $A, B$ のどちらかしかないので、2回目の終了時に状態 $B$ となる確率は、(4)より $1-\dfrac{7}{27}=\dfrac{20}{27}$ です。

また、1回目の終了時点で状態 $B$ で、2回目で状態 $A$ となる確率は、(4)の前半で行った計算から\[ \frac{2}{3}\times\frac{2}{9}=\frac{4}{27} \]です。なので、1回目も2回目も状態 $B$ となる確率は、1回目の終了時点で $B$ となる確率（(2)で求めたもの）からこれをひいて\[ \frac{2}{3}-\frac{4}{27}=\frac{14}{27} \]です。

以上から、2回目の終了時に状態 $B$ になったとき、1回目の終了時も状態 $B$ である条件付き確率は
\begin{eqnarray} \frac{14}{27}\div\frac{20}{27}=\frac{7}{10} \end{eqnarray}となります。

解答

タチツ：710