センター試験 数学I・数学A 2016年度 第4問 解説
問題編
問題
(1) 不定方程式\[ 92x+197y=1 \]を満たす整数 x, y の組の中で、x の絶対値が最小のものは\[ x=\myBox{アイ},\quad y=\myBox{ウエ} \]である。不定方程式\[ 92x+197y=10 \]を満たす整数 x, y の組の中で、x の絶対値が最小のものは\[ x=\myBox{オカキ},\quad y=\myBox{クケ} \]である。
(2) 2進法で $11011_{(2)}$ と表される数を4進法で表すと $\myBox{コサシ}_{(4)}$ である。
次の 0～5 の 6進法の小数のうち、10進法で表すと有限小数として表せるのは、 $\myBox{ス}$ 、 $\myBox{セ}$ 、 $\myBox{ソ}$ である。ただし、解答の順序は問わない。
0: $0.3_{(6)}$
1: $0.4_{(6)}$
2: $0.33_{(6)}$
3: $0.43_{(6)}$
4: $0.033_{(6)}$
5: $0.043_{(6)}$
考え方
(1)は不定方程式の典型的な問題ですが、よく練習しておかないと解くのは難しいです。後半は前半の結果を使いますが、答えるものは「x の絶対値が最小のもの」であることに注意して答えましょう。
(2)は、2進数はいいとして、6進数の小数は少し変わった問題ですね。n 進法の小数の表し方がわかれば、あとはただ計算するだけですが、小数の変換までカバーできていた人は多くなかったかもしれません。
解答編
問題
(1) 不定方程式\[ 92x+197y=1 \]を満たす整数 x, y の組の中で、x の絶対値が最小のものは\[ x=\myBox{アイ},\quad y=\myBox{ウエ} \]である。
解説
このような不定方程式を解くには、まずは特殊解を見つける必要があります。
与えられた不定方程式の92に注目して、左辺を次のように変形します。
\begin{eqnarray}
& &92x+197y \\
&=&92x+(92\cdot 2+13)y \\
&=&92(x+2y)+13y
\end{eqnarray}
ここで、 $z=x+2y$ とし、今度はこの式の13に着目して次のように変形します。
\begin{eqnarray}
& &92z+13y \\
&=&(13\cdot 7+1)z+13y \\
&=&13(7z+y)+z
\end{eqnarray}
このとき、最後の式が $1$ になるものとして、 $7z+y=0$, $z=1$ の組、つまり、 $y=-7$, $z=1$ があります。 $z=x+2y$ だったので、このときの x は15となります。よって、 $x=15$, $y=-7$ という特殊解が得られました。
元の式と、今見つけた x, y の組を並べて書いてみます。
\begin{eqnarray}
&92&x&+&&197&y&=&1 \\
&92&\cdot 15&+&&197&\cdot (-7)&=&1
\end{eqnarray}この2つの式を辺々引くと、 $92(x-15)=-197(y+7)$ となります。92と197は互いに素なので、整数 k を用いて、 \[ x=-197k+15, y=92k-7 \] が解となることがわかります。求める解は、x の絶対値が最小のものなので、 $k=0$ のとき、つまり、 $x=15$, $y=-7$ のときであることがわかります。
解答
アイ：15、ウエ：-7
参考
解答編 つづき
問題
不定方程式\[ 92x+197y=10 \]を満たす整数 x, y の組の中で、x の絶対値が最小のものは\[ x=\myBox{オカキ},\quad y=\myBox{クケ} \]である。
解説
さきほどと係数が同じで、右辺が違うだけですね。さきほど使った式を使いまわしましょう。
\[ 92\cdot 15+197\cdot (-7)=1 \]の両辺に10を掛けると、
\[ 92\cdot 150+197\cdot (-70)=10 \]が得られます。先ほどと同様に与えられている式から辺々引くと、\[ 92(x-150)=-197(y+70) \]となるので、整数 $k$ を用いて、 $x=-197k+150$, $y=92k-70$ が解であることがわかります。
求める解は x の絶対値が最小のものなので、 $k=1$ のときです（さきほど違って $k=0$ のときではないことに注意です）。よって、$x=-47$, $y=22$ が答えになります。
解答
オカキ：-47
クケ：22
解答編 つづき
問題
(2) 2進法で $11011_{(2)}$ と表される数を4進法で表すと $\myBox{コサシ}_{(4)}$ である。
解説
2進法で表した「11011」は、まず10進法になおしてみます。
\[ 2^4+2^3+2^1+2^0=27 \]これを4で割っていくと、「123」が4進法での表記となることがわかります。
なお、2進法から4進法への変換は次のようにしてもできます。まず2進法で表した数を、右から2つずつ区切っていきます（「1,10,11」というように）。そして、それぞれを2進数から4進数に変換すると、「123」となります。こういう求め方も可能です。
解答
コサシ：123
解答編 つづき
問題
次の 0～5 の 6進法の小数のうち、10進法で表すと有限小数として表せるのは、 $\myBox{ス}$ 、 $\myBox{セ}$ 、 $\myBox{ソ}$ である。ただし、解答の順序は問わない。
0: $0.3_{(6)}$
1: $0.4_{(6)}$
2: $0.33_{(6)}$
3: $0.43_{(6)}$
4: $0.033_{(6)}$
5: $0.043_{(6)}$
解説
6進法での小数とは、小数第一位が10進法の「1/6」を表す数字と言うことです。つまり、6進法の「0.3」というのは、10進法に変換すると、\[ 3 \times \frac{1}{6} = \frac{1}{2} = 0.5 \]ということです。「0.3」は有限小数です。
一方、6進法で「0.4」は、10進数では「4÷6」のことなので、無限小数です。
次に、小数第2位までの小数です。6進法での0.33は、10進法で書くと\[ \frac{3}{6}+\frac{3}{36} = \frac{7}{12} \]なので、無限小数です。
一方、0.43は、\[ \frac{4}{6}+\frac{3}{36} = 0.75 \]なので、有限小数です。
最後の、0.033と0.043は、さきほどの0.33と0.43を10進法に変換して6で割ったものです。0.33を10進数に変換すると無限小数だったので、これを6で割ってもやはり無限小数です。「0.75÷6」は割り切れるので、0.043を10進法に変換したものは有限小数となります。
以上より、有限小数となるのは、0.3、0.43、0.043の3つです。
解答
ス・セ・ソ：0・3・5
