センター試験 数学I・数学A 2016年度 第3問 解説

問題編

問題

　赤球4個、青球3個、白球5個、合計12個の球がある。これら12個の球を袋の中に入れ、この袋からAさんがまず1個取り出し、その球をもとに戻さずに続いてBさんが1個取り出す。

(1) AさんとBさんが取り出した2個の球のなかに、赤球か青球が少なくとも1個含まれている確率は $\displaystyle \frac{\myBox{アイ}}{\myBox{ウエ}}$である。

(2) Aさんが赤球を取り出し、かつBさんが白球を取り出す確率は $\displaystyle \frac{\myBox{オ}}{\myBox{カキ}}$である。これより、Aさんが取り出した球が赤球であったとき、Bさんが取り出した球が白球である条件付き確率は $\displaystyle \frac{\myBox{ク}}{\myBox{ケコ}}$ である。

(3) Aさんは1球取り出したのち、その色を見ずにポケットの中にしまった。Bさんが取り出した球が白球であることがわかったとき、Aさんが取り出した球も白球であった条件付き確率を求めたい。

　Aさんが赤球を取り出し、Bさんが白球を取り出す確率は $\displaystyle \frac{\mybox{オ}}{\mybox{カキ}}$ であり、Aさんが青球を取り出し、かつBさんが白球を取り出す確率は $\displaystyle \frac{\myBox{サ}}{\myBox{シス}}$ である。同様に、Aさんが白球を取り出し、かつBさんが白球を取り出す確率を求めることができ、これらの事象は互いに排反であるから、Bさんが白球を取り出す確率は $\displaystyle \frac{\myBox{セ}}{\myBox{ソタ}}$ である。

　よって、求める条件付き確率は $\displaystyle \frac{\myBox{チ}}{\myBox{ツテ}}$ である。

考え方

状況が複雑ではなく、計算も複雑ではありません。問題のレベルとしてはそれほど高くはありません。誘導通りに計算していけば最後までたどり着けるでしょう。

条件付き確率を扱っている点が特徴的ですね。入試ではそんなに出題頻度が高くないので、対策が不十分だった人もいるかもしれません。

解答編

問題

　赤球4個、青球3個、白球5個、合計12個の球がある。これら12個の球を袋の中に入れ、この袋からAさんがまず1個取り出し、その球をもとに戻さずに続いてBさんが1個取り出す。

(1) AさんとBさんが取り出した2個の球のなかに、赤球か青球が少なくとも1個含まれている確率は $\displaystyle \frac{\myBox{アイ}}{\myBox{ウエ}}$である。

解説

「少なくとも」という確率を考える場合は、全体から残りを引いて出す方が簡単になることが多いです。今の場合、全体から「赤も青もない＝両方白」の確率を引けばいいですね。よって、
\begin{eqnarray} 1-\frac{5}{12} \times \frac{4}{11}=1-\frac{5}{33}=\frac{28}{33} \end{eqnarray} となります。

解答

アイウエ：2833

解答編 つづき

問題

(2) Aさんが赤球を取り出し、かつBさんが白球を取り出す確率は $\displaystyle \frac{\myBox{オ}}{\myBox{カキ}}$である。これより、Aさんが取り出した球が赤球であったとき、Bさんが取り出した球が白球である条件付き確率は $\displaystyle \frac{\myBox{ク}}{\myBox{ケコ}}$ である。

解説

Aさんが赤を取り出す確率は、$\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$です。よって、Aさんが取り出した球が赤球であったとき、Bさんが取り出した球が白球である条件付確率は、
\begin{eqnarray} \frac{5}{33} \div \frac{1}{3} = \frac{5}{11} \end{eqnarray} となります。

解答

解答編 つづき

問題

(3) Aさんは1球取り出したのち、その色を見ずにポケットの中にしまった。Bさんが取り出した球が白球であることがわかったとき、Aさんが取り出した球も白球であった条件付き確率を求めたい。

　Aさんが赤球を取り出し、Bさんが白球を取り出す確率は $\displaystyle \frac{\mybox{オ}}{\mybox{カキ}}$ であり、Aさんが青球を取り出し、かつBさんが白球を取り出す確率は $\displaystyle \frac{\myBox{サ}}{\myBox{シス}}$ である。同様に、Aさんが白球を取り出し、かつBさんが白球を取り出す確率を求めることができ、これらの事象は互いに排反であるから、Bさんが白球を取り出す確率は $\displaystyle \frac{\myBox{セ}}{\myBox{ソタ}}$ である。

　よって、求める条件付き確率は $\displaystyle \frac{\myBox{チ}}{\myBox{ツテ}}$ である。

解説

Aさんが青、Bさんが白の確率は、
\begin{eqnarray} \frac{3}{12} \times \frac{5}{11}=\frac{5}{44} \end{eqnarray}です。

Aさんが白、Bさんが白の確率は、
\begin{eqnarray} \frac{5}{12} \times \frac{4}{11}=\frac{5}{33} \end{eqnarray}です。

この3つはそれぞれ同時に起こることはなく、Bさんが白のときはこのどれかになるため、Bさんが白の確率は、この3つの和となります。よって、
\begin{eqnarray} \frac{5}{33} + \frac{5}{44} + \frac{5}{33} &=&\frac{20+15+20}{132} \\ &=&\frac{55}{132} = \frac{5}{12} \end{eqnarray}となります。

以上から、Bさんが白のとき、Aさんが白となる条件付き確率は、
\begin{eqnarray} \frac{5}{33} \div \frac{5}{12} = \frac{4}{11} \end{eqnarray}となります。

解答