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センター試験 数学I・数学A 2015年度 第6問 解説

問題編

【問題】
 $\triangle \mathrm{ ABC }$において、$\mathrm{ AB }=\mathrm{ AC }=5$、$\mathrm{ BC }=\sqrt{5}$とする。辺AC上に点Dを$\mathrm{ AD }=3$となるようにとり、辺BCBの側の延長と$\triangle \mathrm{ ABD }$の外接円との交点でBと異なるものをEとする。

 $\mathrm{ CE }\cdot \mathrm{ CB }=[アイ]$であるから、$\mathrm{ BE }=\sqrt{[ウ]}$である。

 $\triangle \mathrm{ ACE }$の重心をGとすると、$\displaystyle \mathrm{ AG }=\frac{[エオ]}{[カ]}$である。

 ABDEの交点をPとすると\[\frac{\mathrm{ DP } }{\mathrm{ EP } } = \frac{[キ]}{[ク]} \quad \cdots ①\]である。

 $\triangle \mathrm{ ABC }$と$\triangle \mathrm{ EDC }$において、点ABDEは同一円周上にあるので$\angle \mathrm{ CAB } = \angle \mathrm{ CED } $で、$\angle \mathrm{ C }$は共通であるから\[\mathrm{ DE }=[ケ]\sqrt{[コ]} \quad \cdots ②\]である。

 ①、②から、$\displaystyle \mathrm{ EP } = \frac{[サ]\sqrt{[シ]} }{[ス]}$である。

【考え方】
まずは、図を正しく描くところから始めましょう。参考図がないので自分で描くしかありませんが、はじめでつまづくと後に響いてしまいます。

はじめは、方べきの定理を使います。重心については、BCEの中点になることから求めます。①は、メネラウスの定理を使います。図がきれいに描けていないと、少し気づきにくいかもしれません。

DEは三角形の相似から求めます。これらを組み合わせれば、最後を出すのもそれほど難しくありません。


解答編

【問題】
 $\triangle \mathrm{ ABC }$において、$\mathrm{ AB }=\mathrm{ AC }=5$、$\mathrm{ BC }=\sqrt{5}$とする。辺AC上に点Dを$\mathrm{ AD }=3$となるようにとり、辺BCBの側の延長と$\triangle \mathrm{ ABD }$の外接円との交点でBと異なるものをEとする。

【解説】
この時点で、図は次のようになっています。

【問題】
 $\mathrm{ CE }\cdot \mathrm{ CB }=[アイ]$であるから、$\mathrm{ BE }=\sqrt{[ウ]}$である。

【解説】
方べきの定理より、
\begin{eqnarray} \mathrm{ CE } \cdot \mathrm{ CB } &=& \mathrm{ CA } \cdot \mathrm{ CD } \\ &=& \mathrm{ CA } \cdot (\mathrm{ AC } - \mathrm{ AD }) \\ &=& 5 \cdot (5-3) = 10 \end{eqnarray}となります。

ここで、$\mathrm{ BC }=\sqrt{5}$なので、$\mathrm{ CE }=2\sqrt{5}$となります。よって、$\mathrm{ BE }=\sqrt{5}$となります。

【解答】
アイ:10
ウ:5

【問題】
 $\triangle \mathrm{ ACE }$の重心をGとすると、$\displaystyle \mathrm{ AG }=\frac{[エオ]}{[カ]}$である。

【解説】

先ほどの結果から、点BECの中点であることがわかります。よって、$\triangle\mathrm{ ACE }$の重心Gは、ABを2:1に内分する点になります。つまり、\[ \mathrm{ AG }=\mathrm{ AB }×2/3=10/3 \]となります。

【解答】
エオカ:103

【問題】
 ABDEの交点をPとすると\[\frac{\mathrm{ DP } }{\mathrm{ EP } } = \frac{[キ]}{[ク]} \quad \cdots ①\]である。

【解説】
図はこのようになっています。

メネラウスの定理から
\begin{eqnarray} \frac{\mathrm{ BE } }{\mathrm{ CB } } \cdot \frac{\mathrm{ PD } }{\mathrm{ EP } } \cdot \frac{\mathrm{ AC } }{\mathrm{ DA } } &=& 1 \\[5pt] \frac{\sqrt{5} }{\sqrt{5} } \cdot \frac{\mathrm{ PD } }{\mathrm{ EP } } \cdot \frac{5}{3} &=& 1 \\[5pt] \frac{\mathrm{ DP } }{\mathrm{ EP } } &=& \frac{3}{5} \end{eqnarray}がわかります。

【解説】
キク:35

【問題】
 $\triangle \mathrm{ ABC }$と$\triangle \mathrm{ EDC }$において、点ABDEは同一円周上にあるので$\angle \mathrm{ CAB } = \angle \mathrm{ CED } $で、$\angle \mathrm{ C }$は共通であるから\[\mathrm{ DE }=[ケ]\sqrt{[コ]} \quad \cdots ②\]である。

【解説】

Eは$\triangle\mathrm{ ABD }$の外接円上の点なので、ABDEの4点は同一円周上にあります。なので、$\angle\mathrm{ CAB } = \angle\mathrm{ DEC }$であることがわかります。

よって、三角形ABCと三角形EDCについて、$\angle\mathrm{ CAB }=\angle\mathrm{ CED }$で、$\angle\mathrm{ C }$は共通であるから、相似であることがわかります。

三角形ABCは二等辺三角形だったので、三角形EDCも二等辺三角形。だから、$\mathrm{ DE }=\mathrm{ CE }=2\sqrt{5}$となります。

【解答】
ケコ:25

【問題】
 ①、②から、$\displaystyle \mathrm{ EP } = \frac{[サ]\sqrt{[シ]} }{[ス]}$である。

【解説】
①は$\displaystyle \frac{\mathrm{ DP } }{\mathrm{ EP } } = \frac{3}{5}$です。これから、$\displaystyle \frac{\mathrm{ DE } }{\mathrm{ EP } } = \frac{8}{5}$がわかります。

また、②は$\mathrm{ DE }=2\sqrt{5}$です。

この2つの式から、
\begin{eqnarray} \mathrm{ EP } &=& \mathrm{ DE } \cdot \frac{\mathrm{ EP } }{\mathrm{ DE } } \\[5pt] &=& 2\sqrt{5} \cdot \frac{5}{8} \\[5pt] &=& \frac{ 5 \sqrt{5} }{ 4 } \end{eqnarray}となります。

【解答】
サシス:554

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