センター試験 数学I・数学A 2015年度 第1問 解説

問題編

【問題】
2次関数\[ y=-x^2+2x+2 \quad \cdots ① \]のグラフの頂点の座標は$([ア],[イ])$である。また\[y=f(x)\]はxの2次関数で、そのグラフは、①のグラフをx軸方向にpy軸方向にqだけ平行移動したものであるとする。

(1) 下の[ウ]、[オ]には、次の0~4のうちから当てはまるものを一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。
0: $\gt$、1: $\lt$、2: $\geqq$、3: $\leqq$、4: $\ne$

$2 \leqq x \leqq 4$における$f(x)$の最大値が$f(2)$になるようなpの値の範囲は\[p[ウ][エ]\]であり、最小値が$f(2)$になるようなpの値の範囲は\[p[オ][カ]\]である。

(2) 2次不等式$f(x) \gt 0$の解が$-2 \lt x \lt 3$になるのは\[p=\frac{[ケコ]}{[ク]}, \quad q=\frac{[コサ]}{[シ]}\]のときである。

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著者: 長岡 亮介
出版社: 旺文社
発売日: 2012/09/23
752ページ

【考え方】
頂点は平方完成を行うだけですね。

(1)の最大最小の問題は、グラフを描いて、どういう状況になるかを考えると解きやすくなります。

(2)は、まず$f(x)$の式を求めます。その後に頂点の座標を見比べると解けます。