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センター試験 数学I・数学A 2015年度 第1問 解説

問題編

【問題】
2次関数\[ y=-x^2+2x+2 \quad \cdots ① \]のグラフの頂点の座標は$([ア],[イ])$である。また\[y=f(x)\]はxの2次関数で、そのグラフは、①のグラフをx軸方向にpy軸方向にqだけ平行移動したものであるとする。

(1) 下の[ウ]、[オ]には、次の0~4のうちから当てはまるものを一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。
0: $\gt$、1: $\lt$、2: $\geqq$、3: $\leqq$、4: $\ne$

$2 \leqq x \leqq 4$における$f(x)$の最大値が$f(2)$になるようなpの値の範囲は\[p[ウ][エ]\]であり、最小値が$f(2)$になるようなpの値の範囲は\[p[オ][カ]\]である。

(2) 2次不等式$f(x) \gt 0$の解が$-2 \lt x \lt 3$になるのは\[p=\frac{[ケコ]}{[ク]}, \quad q=\frac{[コサ]}{[シ]}\]のときである。

【考え方】
頂点は平方完成を行うだけですね。

(1)の最大最小の問題は、グラフを描いて、どういう状況になるかを考えると解きやすくなります。

(2)は、まず$f(x)$の式を求めます。その後に頂点の座標を見比べると解けます。


解答編

【問題】
2次関数\[ y=-x^2+2x+2 \quad \cdots ① \]のグラフの頂点の座標は$([ア],[イ])$である。

【解説】
\begin{eqnarray} y &=& -x^2+2x+2\\ &=& -(x^2-2x+1)+3\\ &=& -(x-1)^2+3 \end{eqnarray}この式から、頂点は$(1,3)$とわかります。

【解答】
ア:1
イ:3

【問題】
また\[y=f(x)\]はxの2次関数で、そのグラフは、①のグラフをx軸方向にpy軸方向にqだけ平行移動したものであるとする。

(1) 下の[ウ]、[オ]には、次の0~4のうちから当てはまるものを一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。
0: $\gt$、1: $\lt$、2: $\geqq$、3: $\leqq$、4: $\ne$

$2 \leqq x \leqq 4$における$f(x)$の最大値が$f(2)$になるようなpの値の範囲は\[p[ウ][エ]\]であり、最小値が$f(2)$になるようなpの値の範囲は\[p[オ][カ]\]である。

【解説】
頂点が$(1,3)$のグラフをx軸方向にpy軸方向にqだけ平行移動したものが$y=f(x)$なので、このグラフの頂点は$(1+p,3+q)$となります。

このことをふまえ、まずは、$2 \leqq x \leqq 4$における$f(x)$の最大値が$f(2)$になる場合を求めます。元のグラフが上に凸であることから考えると、区間の左端が最大値になるには、頂点の位置が区間の左端かそれより左にないといけません。下のグラフをみると、グラフがこれより左なら、区間の左端で最大値をとることがわかります。

これを式で書くと、$1+p\leqq2$となるので、$p\leqq1$であることがわかります。

次に最小値が$f(2)$になる場合を求めます。最小値になりうるのは、区間の左端か右端です。下のグラフより、最小値が$f(2)$になるには、頂点の位置が区間の真ん中かそれより右にないといけません。

これを式で書くと、$1+p\geqq3$なので、$p\geqq2$であることがわかります。

【解答】
ウ:3
エ:1
オ:2
カ:2

【問題】
(2) 2次不等式$f(x) \gt 0$の解が$-2 \lt x \lt 3$になるのは\[p=\frac{[ケコ]}{[ク]}, \quad q=\frac{[コサ]}{[シ]}\]のときである。

【解説】
$f(x)>0$の解が、$-2 \lt x \lt 3$となる場合を求めます。これは、$f(x)=0$の解が、$x=-2,3$である、ということです。

元の2次関数の$x^2$の係数が$-1$なので、$f(x)$は次のようになります。
\begin{eqnarray} f(x) &=& -(x+2)(x-3)\\ &=& -(x^2-x-6)\\ &=& -\left(x^2-x+\frac{1}{4} - \frac{1}{4} -6 \right) \\ &=& -\left(x-\frac{1}{2} \right)^2+ \frac{25}{4} \end{eqnarray}

$y=f(x)$の頂点が$( 1+p, 3+q )$であり、上の式から$\displaystyle \left( \frac{1}{2}, \frac{25}{4} \right)$でもあるので、$p=-1/2$と$q=13/4$がわかります。

【解答】
キクケ:-12
コサシ:134

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