センター試験 数学I・数学A 2015年度 第5問 解説

問題編

【問題】
以下では、$a=756$とし、mは自然数とする。

(1) aを素因数分解すると\[ a=2^{[ア]} \cdot 3^{[イ]} \cdot [ウ] \]である。
aの正の約数の個数は[エオ]個である。

(2) $\sqrt{am}$が自然数となる最小の自然数mは[カキ]である。$\sqrt{am}$が自然数となるとき、mはある自然数kにより、$m=[カキ]k^2$と表される数であり、そのときの$\sqrt{am}$の値は$[クケコ]k$である。

(3) 次に、自然数kにより$[クケコ]k$と表される数で、11で割った余りが1となる最小のkを求める。1次不定方程式\[ [クケコ]k-11l=1 \]を解くと、$k\gt 0$となる整数解$(k,l)$のうちkが最小のものは、$k=[サ]$、$l=[シスセ]$である。

(4) $\sqrt{am}$が11で割ると1余る自然数となるとき、そのような自然数mのなかで最小のものは[ソタチツ]である。

【考え方】
(1)は、単に素因数分解するだけですね。(2)は各素因数が偶数乗になるようにmを決めれば答えになります。

(3)は典型的な不定方程式です。(4)は(3)の結果を使って考えます。

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解答編

【問題】
以下では、$a=756$とし、mは自然数とする。

(1) aを素因数分解すると\[ a=2^{[ア]} \cdot 3^{[イ]} \cdot [ウ] \]である。
aの正の約数の個数は[エオ]個である。

【解説】
756を素因数分解すると \[756 = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 7 \] となります。

約数の個数は、各素因数の右上の数字に1を足して掛け合わせると計算できます。よって、今の場合は、(2+1)×(3+1)×(1+1)=24個であることがわかります。

【解答】
アイウ：237
エオ：24

【問題】
(2) $\sqrt{am}$が自然数となる最小の自然数mは[カキ]である。$\sqrt{am}$が自然数となるとき、mはある自然数kにより、$m=[カキ]k^2$と表される数であり、そのときの$\sqrt{am}$の値は$[クケコ]k$である。

【解説】
$\sqrt{am}$が自然数となるには、$2^2 \cdot 3^3 \cdot 7$の各素因数が偶数乗になればOKです。そのためには、少なくとも3と7を掛けないといけません。よって、 $\sqrt{am}$が自然数となる最小の自然数mは21です。

また、$m=21k^2$のとき、
\begin{eqnarray} \sqrt{am} &=& \sqrt{ 2^2 \cdot 3^4 \cdot 7^2 \cdot k^2 }\\ &=& 2 \cdot 3^2 \cdot 7 \cdot k \\ &=& 126k \end{eqnarray}となります。

【解答】
カキ：21
クケコ：126

【問題】
(3) 次に、自然数kにより$[クケコ]k$と表される数で、11で割った余りが1となる最小のkを求める。1次不定方程式\[ [クケコ]k-11l=1 \]を解くと、$k\gt 0$となる整数解$(k,l)$のうちkが最小のものは、$k=[サ]$、$l=[シスセ]$である。

【解説】
$126k-11l=1$を考えます。これを次のように変形します。
\begin{eqnarray} 126k-11l &=&1 \\ ( 11 \cdot 11 + 5 )k - 11l &=& 1 \\ 11( 11 k - l ) + 5k &=& 1 \\ \end{eqnarray}

このとき、$k=-2$、$11k-l=1$なら、上の式を満たします。これを解けば、$k=-2$、$l=-23$となります。元の式とこの結果を次のように並べます。
\begin{eqnarray} 126k-11l &=&1 \\ 126(-2)-11(-23) &=&1 \end{eqnarray}

これを辺々引けば、$126(k+2)=11(l+23)$となります。11と126は互いに素なので、整数nを使って、この解は次のように書けます。
\begin{eqnarray} k+2 &=& 11n \\ l+23&=& 126n \end{eqnarray}

$k=11n-2$なので、$k\gt 0$の範囲で一番小さいものは、$n=1$のときで、その値は9です。また、$l=126n-23$なので、$l=103$となります。

【解答】
サ：9
シスセ：103

【問題】
(4) $\sqrt{am}$が11で割ると1余る自然数となるとき、そのような自然数mのなかで最小のものは[ソタチツ]である。

$\sqrt{am}$は$126k$であり、これを11で割って1余るときを(3)で求めました。また、mが最小になるときと、kが最小になるときは同じであるため、$m= 21\cdot 9^2=1701$が求める値となります。

【解答】
ソタチツ：1701