センター試験 数学I・数学A 2015年度 第5問 解説

問題編

【問題】
以下では、$a=756$とし、mは自然数とする。

(1) aを素因数分解すると\[ a=2^{[ア]} \cdot 3^{[イ]} \cdot [ウ] \]である。
aの正の約数の個数は[エオ]個である。

(2) $\sqrt{am}$が自然数となる最小の自然数mは[カキ]である。$\sqrt{am}$が自然数となるとき、mはある自然数kにより、$m=[カキ]k^2$と表される数であり、そのときの$\sqrt{am}$の値は$[クケコ]k$である。

(3) 次に、自然数kにより$[クケコ]k$と表される数で、11で割った余りが1となる最小のkを求める。1次不定方程式\[ [クケコ]k-11l=1 \]を解くと、$k\gt 0$となる整数解$(k,l)$のうちkが最小のものは、$k=[サ]$、$l=[シスセ]$である。

(4) $\sqrt{am}$が11で割ると1余る自然数となるとき、そのような自然数mのなかで最小のものは[ソタチツ]である。

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【考え方】
(1)は、単に素因数分解するだけですね。(2)は各素因数が偶数乗になるようにmを決めれば答えになります。

(3)は典型的な不定方程式です。(4)は(3)の結果を使って考えます。