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センター試験 数学I・数学A 2015年度 第4問 解説

問題編

【問題】
同じ大きさの5枚の正方形の板を一列に並べて、図のような掲示板を作り、壁に固定する。赤色、緑色、青色のペンキを用いて、隣り合う正方形同士が異なる色となるように、この掲示板を塗り分ける。ただし、塗り分ける際には、3色のペンキをすべて使わなければならないわけではなく、2色のペンキだけで塗り分けることがあってもよいものとする。

(1) このような塗り方は、全部で[アイ]通りある。

(2) 塗り方が左右対称となるのは、[ウエ]通りある。

(3) 青色と緑色の2色だけで塗り分けるのは、[オ]通りある。

(4) 赤色に塗られる正方形が3枚であるのは、[カ]通りある。

(5) 赤色に塗られる正方形が1枚である場合について考える。
・どちらかの端の1枚が赤色に塗られるのは、[キ]通りある。
・端以外の1枚が赤色に塗られるのは、[クケ]通りある。
よって、赤色に塗られる正方形が1枚であるのは、[コサ]通りある。

(6) 赤色に塗られる正方形が2枚であるのは、[シス]通りある。

【考え方】
問題によって、どのように塗り方を決めていくかを変えて考えていかなければいけません。

(1)は、左端から塗っていく、と考えます。(2)も、同じように考えます。

(3)のように2色で塗る場合は、「ABABA」のようになります。つまり、左端の色が決まればそれ以外の板の色は決まってしまうことに注目します。

(4)のように、同じ色が3枚の場合は、両端と真ん中が同じになるしかありません。(5)は、赤がどこかに応じて、数えていきます。赤の場所を決めて、その隣が何色かを考えていきます。

(6)は、今までの結果から求めることができます。赤が0枚のときが(3)、1枚のときが(5)、3枚のときが(4)で、塗り方の総数が(1)です。よって、引き算をすれば、2枚のときが出てきます。直接求めるには場合分けが多くなりすぎるので、やめたほうがいいです。


解答編

【問題】
同じ大きさの5枚の正方形の板を一列に並べて、図のような掲示板を作り、壁に固定する。赤色、緑色、青色のペンキを用いて、隣り合う正方形同士が異なる色となるように、この掲示板を塗り分ける。ただし、塗り分ける際には、3色のペンキをすべて使わなければならないわけではなく、2色のペンキだけで塗り分けることがあってもよいものとする。

(1) このような塗り方は、全部で[アイ]通りある。

【解説】
まず、注意点ですが、問題文に「壁に固定する」と書かれています。これは「回転して一致したとしても、それらを区別する」ということです。これによって、数え方が変わってくるので注意します。

さて、塗り方の総数を考えます。左端は、3パターンあり得ます。2番目は、左端と違う色なら何でもいいので2パターン。3番目は、2番目と違う色なら何でもいいので2パターン。右端まで同様に考えると、\[ 3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 48\]となります。

【解答】
アイ:48

【問題】
(2) 塗り方が左右対称となるのは、[ウエ]通りある。

【解説】
左端は3パターン考えられますが、左右対称なので、今回は自動的に右端も決まってしまいます。

左から二番目は左端と違う色ならいいので2パターンあります。また、右から二番目も自動的に色が決まってしまいます。真ん中は、左右と違う色ならいい(といっても左右は同じ色ですが)ので、2パターンあります。

よって、\[ 3 \cdot 2 \cdot 2 = 12 \]となります。

【解答】
ウエ:12

【問題】
(3) 青色と緑色の2色だけで塗り分けるのは、[オ]通りある。

【解説】
左端が2パターンあります。しかし、そのあとは自動的に決まってしまいます。例えば、左端が青なら、「青緑青緑青」となり、緑なら「緑青緑青緑」となるしかありません。なので、2通りしかありません。

【解答】
オ:2

【問題】
(4) 赤色に塗られる正方形が3枚であるのは、[カ]通りある。

【解説】
両端と真ん中が赤の時しかありません。このとき、左から2番目は2通り、右から2番目も2通りあるので、2×2=4通りです。

【解答】
カ:4

【問題】
(5) 赤色に塗られる正方形が1枚である場合について考える。
・どちらかの端の1枚が赤色に塗られるのは、[キ]通りある。
・端以外の1枚が赤色に塗られるのは、[クケ]通りある。
よって、赤色に塗られる正方形が1枚であるのは、[コサ]通りある。

【解説】
まずは、どちらかの端が赤になる場合。その隣は2パターンですが、これ以上赤が使えないので、それよりあとは自動で色が決まってしまいます。赤になるのが右端か左端かで2通り、その隣りが2通り、それ以外は1通りなので、2×2=4通りです。

次に、端以外の1枚が赤の場合を考えます。この時、その左隣りの塗り方は2通りありますが、それより左は自動で色が決まってしまいます。同様に右隣りも2通りありますが、それよりさらに右にある正方形は自動的に色が決まってしまいます。端以外の1枚を選ぶ方法は3通り、左隣りは2通り、右隣りも2通りなので、\[ 3 \cdot 2 \cdot 2 = 12 \]となります。

2つをあわせると、赤が1枚の場合は、4+12=16通りとわかります。

【解答】
キ:4
クケ:12
コサ:16

【問題】
(6) 赤色に塗られる正方形が2枚であるのは、[シス]通りある。

【解説】
赤が2枚になる場合は、全体から引けば求められます。(1)より、すべての場合が48通り。赤が0枚の場合は(3)より2通り、1枚の場合が(5)より16通り、3枚の場合が(4)より4通りなので、求める場合の数は\[ 48 - 2 - 16 - 4 = 26 \]とわかります。

【解答】
シス:26

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