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センター試験 数学I・数学A 2015年度 第2問 [2] 解説

問題編

【問題】
$\triangle$ABCにおいて、$\mathrm{ AB }=3$、$\mathrm{ BC }=5$、$\angle \mathrm{ ABC }=120^{\circ}$とする。

このとき、$\mathrm{ AC }=[オ]$、$\displaystyle \sin\angle \mathrm{ ABC }=\frac{\sqrt{[カ]} }{[キ]}$であり、$\displaystyle \sin\angle \mathrm{ BCA }=\frac{[ク]\sqrt{[ケ]} }{[コサ]}$である。

直線BC上に点Dを、$\mathrm{ AD }=3\sqrt{3}$かつ$\angle\mathrm{ ADC }$が鋭角、となるようにとる。点Pを線分BD上の点とし、$\triangle$APCの外接円の半径をRとすると、Rのとり得る値の範囲は$\displaystyle \frac{[シ]}{[ス]} \leqq R \leqq [セ]$である。

【考え方】
前半は、正弦定理、余弦定理を使って、他の辺の長さなどを求める問題です。

後半は、「外接円の半径」なので正弦定理を使いますが、角度がどう変わるのか考えながら解く必要があります。


解答編

【問題】
$\triangle$ABCにおいて、$\mathrm{ AB }=3$、$\mathrm{ BC }=5$、$\angle \mathrm{ ABC }=120^{\circ}$とする。

このとき、$\mathrm{ AC }=[オ]$、$\displaystyle \sin\angle \mathrm{ ABC }=\frac{\sqrt{[カ]} }{[キ]}$であり、$\displaystyle \sin\angle \mathrm{ BCA }=\frac{[ク]\sqrt{[ケ]} }{[コサ]}$である。

【解説】
図を描くと、次のようになっています。

余弦定理から
\begin{eqnarray} \mathrm{ AC }^2 &=& \mathrm{ AB }^2 + \mathrm{ BC } ^ 2 - 2 \mathrm{ AB } \cdot \mathrm{ BC } \cos \angle \mathrm{ ABC } \\ &=& 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot (-1/2)\\ &=& 9+25+15 = 49\\ \end{eqnarray}よって、ACの長さは7となります。

また、$\angle \mathrm{ ABC }=120^{\circ}$なので、\[ \sin \angle \mathrm{ ABC } = \frac{\sqrt{3} }{2} \]となります。

これらを使うと、正弦定理から、
\begin{eqnarray} \frac{\mathrm{ AC } }{\sin\angle \mathrm{ ABC } } &=& \frac{\mathrm{ AB } }{\sin\angle \mathrm{ BCA } } \\[5pt] 7 \sin \angle \mathrm{ BCA } &=& 3\cdot \frac{\sqrt{3} }{2} \\[5pt] \sin \angle \mathrm{ BCA } &=& \frac{ 3\sqrt{3} }{ 14 } \end{eqnarray}となります。

【解答】
オ:7
カキ:32
クケコサ:3314

【問題】
直線BC上に点Dを、$\mathrm{ AD }=3\sqrt{3}$かつ$\angle\mathrm{ ADC }$が鋭角、となるようにとる。点Pを線分BD上の点とし、$\triangle$APCの外接円の半径をRとすると、Rのとり得る値の範囲は$\displaystyle \frac{[シ]}{[ス]} \leqq R \leqq [セ]$である。

【解説】
状況は次のようになっています。

ここで注意しておくことは、三角形APCについて、ACの長さが7であること、$\sin\angle\mathrm{ PCA }$の値がわかっていることです。この2つは、Pが動いても変わりません。これらが利用できるなら、積極的に利用していきたいところです。

まず、「外接円の半径」ときたら、正弦定理です。
\begin{eqnarray} \frac{\mathrm{ AC } }{\sin\angle \mathrm{ APC } } &=& 2R \end{eqnarray}

Pが線分BD上を動いたときに、$\angle\mathrm{ APC }$が変わるので、Rも変化するわけですね(分子のACは一定)。

$\angle\mathrm{ APC }$が一番大きい時は、PBにいるときで120°、一番小さい時は、Dにいるときですね。このときの$\angle\mathrm{ APC }(=\angle\mathrm{ ADC })$の値はわかりませんが、鋭角であることだけはすでにわかっています。

次に、上の式の$\sin\angle\mathrm{ APC }$を考えると、$\angle\mathrm{ APC }$が120°から鋭角に変化していくことから、$\angle\mathrm{ APC }=90^{\circ}$となるときに、$\sin\angle\mathrm{ APC }$が最大になり、Rが最小になることがわかります。この時のRは次のようになります。
\begin{eqnarray} \frac{\mathrm{ AC } }{\sin 90^\circ} &=& 2R \\ R &=& 7/2 \end{eqnarray}これが、Rの最小値となります。

一方、Rが最大になるとき、つまり、$\sin\angle\mathrm{ APC }$が最小になるときを考えましょう。こうなる候補としては、$\angle\mathrm{ APC }$が120°の時か$\angle\mathrm{ ADC }$の時しかありません。まず、120°のときは次のようになります。

\begin{eqnarray} \frac{\mathrm{ AC } }{\sin 120^\circ} &=& 2R \\ R &=& \frac{7}{2 \cdot \frac{\sqrt{3} }{2} } \\ &=& \frac{7\sqrt{3} }{3} \end{eqnarray}

次に、$\angle\mathrm{ APC }$が$\angle\mathrm{ ADC }$の時、つまり、Pが点Dにいるときについて考えてみます。もう一度図を見ておきましょう。

このときも上と同じ正弦定理の式を考えてもいいのですが、$\sin\angle\mathrm{ ADC }$の値がわからないので計算する必要があります。しかし、ADと$\angle\mathrm{ DCA }(=\angle\mathrm{ BCA })$に対して正弦定理を使えば、クケコサの結果も使って、次のように簡単に求められます。

\begin{eqnarray} \frac{\mathrm{ AD } }{\sin\angle \mathrm{ DCA } } &=& 2R \\[5pt] R &=& \frac{ 3\sqrt{3} }{2 \cdot \frac{ 3\sqrt{3} }{ 14 } } \\[5pt] &=& 7 \end{eqnarray}

よって、2つの結果を比較すれば、PDにいるときに、Rは最大値7をとることがわかります。

【解答】
シスセ:727

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