センター試験 数学I・数学A 2017年度追試 第1問 [3] 解説

【必答問題】

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$a を定数とし、次の2つの関数を考える。

 $f(x)=(1-2a)x^2+2x-a-2$
 $g(x)=(a+1)x^2+ax-1$

(1) 関数 $y=g(x)$ のグラフが直線になるのは、 $a=\myBox{ソタ}$ のときである。このとき、関数 $y=f(x)$ のグラフと x 軸との交点の x 座標は $\myBox{チツ}$ と $\dfrac{\myBox{テ}}{\myBox{ト}}$ である。

(2) 方程式 $f(x)+g(x)=0$ がただ1つの実数解をもつのは、 a の値が\[ \pm\frac{\myBox{ナ}\sqrt{\myBox{ニヌ}}}{\myBox{ネ}},\ \myBox{ノ} \]のときである。

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考え方

問題文では「2つの関数を考える」と書いていて、「2つの二次関数を考える」とは書いていません。これは、 $x^2$ の係数が 0 の可能性があるからです。実際、(1)では、そういう状況を考える問題となっています。

(1)によって、「直線の場合もありえる」ことに気づけるため、(2)のヒントになっています。2次関数と1次関数の場合で、わけて考えましょう。