【標準】logの不定積分（部分積分）

🕒 2018/11/23 🔄 2023/06/28

ここでは、 $\log$ を含む不定積分のうち、工夫すれば計算が少し簡単になる例を見ていきます。なお、 $C$ は積分定数を表します。

📘 目次

logを含む不定積分

例題

次の不定積分を計算しなさい。\[ \int \log(x+1) dx \]

$\log x$ の不定積分は、【基本】logの不定積分（部分積分）で見ました。部分積分の式\[ \int f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) -\int f'(x)g(x)dx \]で、 $f(x)=\log x$, $g(x)=x$ と置けば、左辺には $\log x$ の不定積分があらわれ、右辺の積分の被積分関数は $1$ となり、不定積分が計算できるのでした。

この例題では、 $\log (x+1)$ なので、一つの方法としては、【標準】不定積分（置換積分と部分積分の組合せ）で見たように、置換積分をしてから部分積分を行う方法があります。つまり、 $x=t-1$ とおいて\[ \int\log t dt \]を計算する、という方法です。

もちろんこの方法でも計算できるのですが、今の場合は、もっと単純に考えることができます。 $\log x$ の不定積分では、部分積分の式の右辺がうまく計算できるようになるので、部分積分を使ったのでしたね。この例題でも、うまくいくように、 $g(x)$ を選ぶことにしましょう。

\[ \int f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) -\int f'(x)g(x)dx \]の式で、 $f(x)=\log(x+1)$ とすると、右辺の被積分関数に現れる $f'(x)$ は $\dfrac{1}{x+1}$ となります。また、左辺を見ると、 $g'(x)=1$ となります。 $\log x$ の部分積分では、 $g(x)=x$ と置きましたが、今の場合は、こう置いてしまうと、右辺の被積分関数が $\dfrac{x}{x+1}$ となってしまいます。

この積分も計算できるのですが、もっとうまく $g(x)$ を選ぶ方法があります。左辺から出てくる $g'(x)=1$ という条件を満たし、右辺に出てくる $\dfrac{g(x)}{x+1}$ が簡単に積分できるような $g(x)$ を考えてみましょう。そうすると、 $g(x)=x$ ではなく、 $g(x)=x+1$ と置けばいいことがわかるでしょう。こうすれば、右辺の積分は簡単になります。

以上から、次のように部分積分を使って、不定積分を計算することができます。
\begin{eqnarray} & & \int \log(x+1) dx \\[5pt] &=& \int (x+1)' \log(x+1) dx \\[5pt] &=& (x+1)\log(x+1) -\int (x+1)\cdot\frac{1}{x+1} dx \\[5pt] &=& (x+1)\log(x+1) -\int dx \\[5pt] &=& (x+1)\log(x+1) -x+C \end{eqnarray}置換積分をしなくても、部分積分を一回するだけで、不定積分を求めることができます。

なぜ定数部分は自由に選べるのか

部分積分の式\[ \int f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) -\int f'(x)g(x)dx \]に出てくる $g(x)$ は、定数部分を自由に選ぶことができます。先ほどは、 $g'(x)=1$ となるものとして、 $g(x)=x$ ではなく、 $g(x)=x+1$ と置いて、計算しやすくなるように選びましたね。

そもそも、なぜ $g(x)$ の定数部分を自由に選べるのでしょうか。それは、部分積分がなぜ行えるのか、を考えてみるとわかるでしょう。

【基本】不定積分の部分積分で見たように、部分積分は、積の微分の公式から導かれていました。\[ (f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) \]が成り立つので、これを移行して\[ f(x)g'(x)=(f(x)g(x))'-f'(x)g(x) \]も成り立ち、両辺の不定積分を考えてみると、部分積分の式が導かれます。

ここで、 $g_1(x)=g(x)+c$ としてみましょう。 $c$ は定数とします。このとき、積の微分は
\begin{eqnarray} & & (f(x)g_1(x))' \\[5pt] &=& (f(x)g(x)+cf(x))' \\[5pt] &=& f'(x)g(x)+f(x)g'(x)+cf'(x) \\[5pt] &=& f'(x)(g(x)+c)+f(x)g'(x) \\[5pt] &=& f'(x)g_1(x)+f(x)g'(x) \\[5pt] \end{eqnarray}となります。よって、\[ f(x)g'(x)=(f(x)g_1(x))'-f'(x)g_1(x) \]が成り立ちます。このことから、部分積分の左辺は同じで、右辺の $g(x)$ の部分は、 $g(x)+c$ に置き換えても成り立つことがわかります。つまり、 $g(x)$ の定数部分は、好きな値を選んでいいということなんですね。