整数の加法の性質

ここでは、整数の加法の定義を踏まえて、整数の加法の性質について見ていきます。

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整数の加法の定義の復習

繰り返しになりますが、整数の加法の定義で定義した整数の加法について、内容を少し振り返っておきます。

自然数 $a,b$ を使って、自然数のペア $(a,b)$ を考えます。このとき $[(a,b)]$ を次のようにしてグループ分けをしていきます。

 $[(a,b)] = \{(c,d)\mid a+d=c+b\}$

これは、整数を $a-b$ で表そうというアイデアに基づいています。 $a-b=c-d$ なら、「 $(a,b)$ と $(c,d)$ は同じ整数を表す」と考え、各 $[(a,b)]$ を整数と呼ぶのでした。

2つの整数 $[(a,b)]$ と $[(c,d)]$ との和は、\[ [(a+c,b+d)] \]で定義しました。これは、 $(a-b)+(c-d)=(a+c)-(b+d)$ というアイデアによります。

1つの整数に対して2つの自然数を使って表す方法は、一般的に複数あります。そのため、どのように表すかで結果が変わってくる可能性があるのですが、上のように加法を定義すると、どのような表し方でも和が定義できるのでした。つまり、代表元によらずに定義できる、ということです。

ここまでが、整数の加法の定義の話でした。

ゼロについて

0以上の整数は、自然数と同一視できる、という話を自然数の整数への埋め込みで見ました。 $0$ は $[(0,0)]$ と同一視できます。

新しく定義した自然数では、高校までの数学と同じように、 $0$ を足しても結果は変わりませんでした。新しく定義した整数の加法でも同じことが成り立つことを確認しましょう。新しく「整数の加法」を定義したので、これは自明ではありません。チェックしないといけない事柄です。

2つの自然数 $a,b$ を使って、整数 $[(a,b)]$ を表すとします。このとき、 $0$ との和、つまり、 $[(0,0)]$ との和は\[ [(a,b)]+[(0,0)] = [(a+0,b+0)]=[(a,b)] \]となります。

また、順番を入れ替えて足したものも\[ [(0,0)]+[(a,b)] = [(0+a,0+b)]=[(a,b)] \]となります。

以上から、整数の世界でも同様に、 $0$ を足しても結果が変わらないことがわかりました。どんな整数 $z$ に対しても、 $z+0=0+z=z$ です。


逆に、このような性質を持つものは $0$ しかありません。つまり、どのような整数 $z$ に対しても、 $z+x=x+z=z$ となるような整数 $x$ は $0$ しかありません。なぜなら、 $x=[(a,b)]$ としたとき、 $z=[(0,0)]$ とする( $z$ はなんでもいいので、 $0$ でもいい)と、\[ z+x=[(0+a,0+b)]=[(a,b)] \]なので、これが $z\ (=[(0,0)])$ となるなら、 $a+0=b+0$ となるしかなく、 $a=b$ となって、\[ x=[(a,a)] \]となるからです。これは $[(0,0)]$ と等しいので、 $x=0$ となるしかありません。

ゼロとの和(整数)
任意の整数 $z$ に対して、 $z+0=0+z=z$ が成り立つ。

逆に、ある整数 $x$ が、任意の整数 $z$ に対して $z+x=x+z=z$ となるとき、 $x=0$ である。

少しまぎらわしいですが、

 「ある整数 $x$ とある整数 $z$ に対して、 $z+x=x+z=z$ となるとき、 $x=0$ である。」

も成り立ちます。任意の整数 $z$ に対して成り立たなくても、ある1つの整数についてだけ成り立っていればいいということです。

なぜなら、 $x=[(a,b)]$ としたとき、 $z=[(m,n)]$ とすると、\[ z+x=[(m+a,n+b)] \]なので、これが $[(m,n)]$ となるなら、 $m+(n+b)=(m+a)+n$ となります。自然数の加法の結合法則や簡約法則から $m+n$ を削除すれば、 $a=b$ が導けます。よって、\[ x=[(a,a)] \]となるから、 $x=0$ となるしかありません。

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整数の加法と交換法則

自然数の加法では交換法則: $x+y=y+x$ が成り立ちましたが、これは整数の世界でも成り立ちます。

自然数 $a,b,c,d$ を使って、整数の和を考えます。
\begin{eqnarray}
[(a,b)]+[(c,d)] &=& [(a+c,b+d)] \\[5pt] [(c,d)]+[(a,b)] &=& [(c+a,d+b)] \end{eqnarray}であり、自然数の加法では交換法則が成り立つので右辺同士が等しいため、左辺同士も等しくなります。

もう少し細かく書いてみましょう。右辺同士が等しいことを確認するには、次を確かめる必要があります。\[ (a+c)+(d+b)=(c+a)+(b+d) \]交換法則や結合法則を使うと、両辺とも $a+b+c+d$ と等しくなるので、やはり整数の加法でも交換法則が成り立つことがわかります。

交換法則(整数の加法)
任意の整数 $x,y$ に対して、 $x+y=y+x$ が成り立つ。

整数の加法と結合法則

自然数の加法では結合法則: $(x+y)+z=x+(y+z)$ が成り立ちましたが、これは整数の世界でも成り立ちます。

自然数 $a,b,c,d,e,f$ を使って、整数の和を考えます。 $x=[(a,b)]$, $y=[(c,d)]$, $z=[(e,f)]$ とします。左辺を計算すると
\begin{eqnarray}
& &
[(a+c,b+d)]+[(e,f)] \\[5pt] &=&
[((a+c)+e,(b+d)+f)] \end{eqnarray}となります。右辺は
\begin{eqnarray}
& &
[(a,b)]+[(c+e,e+f)] &=&
[(a+(c+e),b+(d+f))] \end{eqnarray}となります。自然数の加法では結合法則が成り立つから最後の式同士が等しいので、\[ (x+y)+z=x+(y+z) \]となることがわかります。

結合法則(整数の加法)
任意の整数 $x,y,z$ に対して、 $(x+y)+z=x+(y+z)$ が成り立つ。

逆元の存在と一意性

ここまでは、自然数の加法で成り立っていた性質が、整数の加法でも成り立っている、という話でしたが、次は、整数の加法だけで成り立つ話です。

足しても結果が変わらない「ゼロ」が出てきましたが、整数の加法では、足した結果がゼロになるものが存在します。

2つの自然数 $a,b$ を用いて、整数 $[(a,b)]$ について考えます。このとき、 $[(b,a)]$ との和を考えると
\begin{eqnarray}
[(a,b)]+[(b,a)]&=&[(a+b,b+a)] \end{eqnarray}となります。 $(a+b)+0=0+(b+a)$ なので、 $[(a+b,b+a)]=[(0,0)]$ つまり、右辺は $0$ であることがわかります。また、交換法則から、 $[(b,a)]+[(a,b)]=[(0,0)]$ も成り立ちます。

こうして、整数 $z$ に対して、 $z+x=x+z=0$ となる整数 $x$ が存在することがわかります。


また、このような $x$ は、整数 $z$ に対して、1つしか存在しません。

もし、整数 $z$ に対して、ある整数 $x,y$ が、 $z+x=x+z=0$, $z+y=y+z=0$ を満たしているとしましょう。 $x+z=0$ の両辺に $y$ を足すと
\begin{eqnarray}
(x+z)+y &=& 0+y \\[5pt] x+(z+y) &=& y \\[5pt] x+0 &=& y \\[5pt] x &=& y \\[5pt] \end{eqnarray}となります。よって、1つしか存在しないことがわかります。

整数 $z$ に対して、 $z+x=x+z=0$ となる整数 $x$ のことを逆元(inverse element) といい、 $-z$ と書いて表します。

(加法における)逆元
任意の整数 $z$ に対して、 $z+x=x+z=0$ を満たす整数 $x$ がただ1つ存在する。この $x$ のことを、(加法に関する) $z$ の逆元といい、「 $-z$ 」と表す。

$z$ が負の整数の場合、自然数の整数への埋め込みで見たように、 $z$ は $0$ でない自然数 $n$ を使って、 $[(0,n)]$ と書けます。また、 $[(0,n)]$ は $[(n,0)]$ の逆元です。自然数の整数への埋め込みで見たように、 $[(n,0)]$ のことを $n$ と同一視するのだから、\[ [(0,n)]=-n \]と表します。

こうして、負の整数 $z$ は、ある $0$ でない自然数 $n$ を使って、 $z=-n$ と書けることがわかります。


逆元を使えば、整数 $y,z$ に対して、 $x+y=z$ を満たす整数 $x$ が必ず存在することがわかります。 $x=z+(-y)$ とすれば、これが解になることがわかります。

こうなる整数は1つだけです。もし $x’+y=z$ も成り立つとすると、 $x+y=x’+y$ であり、両辺に $-y$ を足せば $x=x’$ であることがわかるからです。

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半群と群

ここまで見てきた話を、代数学の言葉を使って書き直してみます。なお、代数学は、数学の一分野です。今は内容がわからなくても、飛ばし読みで大丈夫です。

一般に、ある集合 $A$ について、2つの元に対して、ある1つの元を対応させる方法のことを、二項演算といいます。難しく聞こえますが、足し算や掛け算は二項演算です。足し算の例であれば、 $2+3=5$ を「 $2$ と $3$ に対して、 $5$ を対応させている」と見るわけですね。

集合 $A$ 上で定義された二項演算 “+” が、次の性質(1) を満たすとき、 $(A,+)$ を半群(semigroup) といいます。

 (1) 結合法則
  $(x+y)+z=x+(y+z)$

自然数の加法でも見たことから、 $(\mathbb{N},+)$ は半群であることがわかります。


さらに、次の性質(2) も満たすとき、 $(A,+)$ をモノイド(monoid) といいます。

 (2) 零元の存在
  $x+z=z+x=x$ がどんな $z\in A$ についても成り立つような $x$ が存在する

このような $x$ を $0$ と表します。


先ほどの性質(1), (2) に加えて、次の性質(3) も満たすとき、 $(A,+)$ を(group) といいます。

 (3) 逆元の存在
  任意の $z\in A$ に対して、「 $z+x=x+z=0$ を満たす $x\in A$ 」が存在する

このような $x$ を $-z$ と表します。これは一般的な表記ですが、もちろん、今までに扱ってきた $+$ と $-$ に由来しています。

このページで見てきた通り、 $(\mathbb{Z},+)$ は、性質(1), (2), (3) をみたすので、群であることがわかります。

一般に、半群 $(A,+)$ が群になるとは限りませんが、半群から群を作り出す方法があります。ここまで、自然数(半群でありモノイドでもあるが群ではない)から整数(群)を作りましたが、この手法がそのまま使えます。つまり、今までずっと、「半群から群を作り出す」という一般的な操作を、自然数に対して行ってきたことになります。こうして、自然数から整数を作り出してきたわけです。


なお、群に対して、次の性質(4) も成り立つときは、可換群やアーベル群と呼びます。

 (4) 交換法則
  $x+y=y+z$

$(\mathbb{Z},+)$ は、アーベル群でもあります。

これらの内容は、将来代数学を学ぶときに詳しく見ることになります。自然数や整数の話も、具体例の1つとして登場します。

おわりに

ここでは、整数の加法の定義を受けて、加法の性質を見てきました。どれも、今まで当然成り立つものとして使っていたものですが、新しい定義に基づいて、成り立つことを再確認しました。

逆元が存在するので、これを用いて、次は整数の減法について考えていきます。