整数の加法の定義

ここまでの整数についての振り返り

整数の定義自然数の整数への埋め込みの冒頭でも見ましたが、まずは簡単に整数についておさらいしておきます。

自然数 $a,b$ を使って、自然数のペア $(a,b)$ を考えます。このとき $[(a,b)]$ を次のように定義してグループ分けをしていきます。

 $[(a,b)] = \{(c,d)\mid a+d=c+b\}$

これは、整数を $a-b$ で表そうというアイデアに基づいています。 $a+d=c+b$ なら $a-b=c-d$ が成り立つのだから、同じ整数を表すと考えて、同じグループに属するようにしています。こうして作られる $\{[(a,b)]\}$ を整数の集合といい、各元を整数と呼ぶのでした。

例えば、 $(1,3)$ や $(2,4)$ や $(10000,10002)$ はいずれも同じグループ $[(1,3)]$ に属していて、このグループは $-2$ を表していると考える、というわけです。

整数の加法はどう定義するのが自然か?

このように整数を定義した場合、整数の加法はどう定義するのが自然でしょうか。

2つの整数を、 $[(a,b)]$ と $[(c,d)]$ としましょう( $a,b,c,d$ は自然数)。これらは、心の中では $a-b$ と $c-d$ を表している、と考えます(が、本シリーズではまだ引き算を定義してないので、表舞台には出しません)。

こうしたとき、高校までの整数の足し算を思い出せば、この2つの和は\[ (a-b)+(c-d)=a-b+c-d \]とするのが自然です。が、再びですが、引き算はまだ定義していないので、この書き方はまずいです。しかし、右辺を\[ (a+c)-(b+d) \]とすればどうでしょうか。これは、すでに定義した書き方を使えば、 $[(a+c,b+d)]$ と表すことができます。

以上のことから、2つの整数 $[(a,b)]$ と $[(c,d)]$ の和は、 $[(a+c,b+d)]$ になる、と定義するのが自然です。これを整数の加法と定義すると、今までに扱ってきた整数の加法と整合的になる、と考えられます。

【広告】

「代表元によらない」について

「整数の加法はこのように定義するのが自然だ」という話を書きましたが、実はちょっと問題があります。

というのも、整数は2つの自然数を使って $[(a,b)]$ と表すのですが、この表し方は1通りではないからです。なので、 $[(a,b)]$ と $[(c,d)]$ の和を\[ [(a+c,b+d)] \]と定義するのが自然だとしても、 $[(a,b)]$ を別の表し方にしたときに、結果が変わってしまうかもしれません。こんなことが起こると、困ってしまいます。そのため、「こんなことは起こらないよ」というチェックが必要です。

もっと具体的に、「困ったこと」とはどういうことなのか、見てみましょう。例えば、2つの整数 $[(a,b)]$, $[(c,d)]$ の積を\[ [(ac,bd)] \]で定義したとしましょう(後のページで導入する積とは違うものです)。実は、このように定義すると、定義が破綻してしまいます

例えば、 $-2$ と $-3$ を、 $[(1,3)]$, $[(2,5)]$ と表したとしましょう。先ほどの定義に従えば、この積は\[ [(1\cdot 2, 3\cdot 5)]=[(2, 15)] \]となります。 $-2$ を表す方法は他にもあって、 $[(10,12)]$ とすることもできます。こうすると、先ほどの定義に従えば、積は\[ [(10\cdot 2, 12\cdot 5)]=[(20, 60)] \]となります。この2つの結果 $[(2,15)]$ と $[(20,60)]$ を見比べると、前者は $-13$ で、後者は $-40$ に対応しており、別の整数を表していることがわかります。

つまり、整数は、表し方が複数ある(自然数のペアの選び方が複数ある)ので、どのペアを選ぶかによって、答えが変わってしまうかもしれないのです。こうなっては困るので、このような定義は採用することはできません。

一般に、数学の世界で、あるものを表す方法が複数存在する場合(今のケースなら、整数を表す方法が複数ありますね)、それらを使って何かを定義したときに、どんな表し方をしても定義した内容が1つに定まる必要があります。表し方に関わらず内容が1つに決まる場合、代表元によらないといいます。

先ほどの「ダメな積」のように、何かを定義しても、その定義によって内容が定まらない場合もあるんですね。ちゃんと内容が決まる場合、つまり、代表元によらずに内容が決まる場合、この定義は well-defined であるといいます。この用語は、大学以降の数学でよく出てきますが、あまりいい日本語訳がないので、英語のまま使われることが多いです。

整数の加法が代表元によらずに決まることの確認

表し方が複数あるものに対して何かを定義する場合、表し方に関わらず内容が1つに決まる必要があるのでした。そのため、先ほどのように整数の加法を定義したい場合、他の表し方に対しても、和がきちんと1つの整数に定まるのか、確認する必要があります。この確認をして初めて、定義ができたことになります。

このような確認は今後何度も出てきます。基本的には、複数の表し方があったとして、同じ結果になるかどうかを確認するだけです。

今の場合であれば、 $[(a,b)]=[(a’, b’)]$, $[(c,d)]=[(c’,d’)]$ としたときに、どちらの表し方でも和が同じになるかを確かめることになります。つまり、\[ [(a+c,b+d)]=[(a’+c’,b’+d’)] \]が成り立つことを確かめればOKです。

$[(a,b)]=[(a’, b’)]$ であれば、 $a+b’=a’+b$ が成り立ちます。また、 $[(c,d)]=[(c’, d’)]$ であれば、 $c+d’=c’+d$ が成り立ちます。よって、辺々足すと
\begin{eqnarray}
(a+b’)+(c+d’) &=& (a’+b)+(c’+d) \\[5pt] (a+c)+(b’+d’) &=& (a’+c’)+(b+d) \\[5pt] \end{eqnarray}となります。これは、 $(a’+c’,b’+d’)\in [(a+c,b+d)]$ ということなので、たしかに、 $[(a+c,b+d)]=[(a’+c’,b’+d’)]$ が成り立ちます。

つまり、他の表し方があったとしても、この定義では、和は同じ整数を表すことになります。代表元によらずに、和を定めることができる、ということです。これで、先ほどの整数に対する加法の定義が well-defined であることが確かめられました。

整数の加法の定義

先ほどのチェックにより、次のように整数の加法の定義をします。

整数の加法
2つの整数 $[(a,b)]$, $[(c,d)]$ があるとする( $a,b,c,d$ は自然数)。このとき、整数の加法 $+$ を次のように定める。\[ [(a,b)]+[(c,d)]=[(a+c,b+d)] \]

例えば、 $[(1,3)]+[(2,5)]$ は $[(3,8)]$ となります。これは、高校までの数学で見た表記に翻訳すれば、\[ (-2)+(-3)=(-5) \]ということです。今までの整数の加法と整合的であることがわかります。

なお、上の赤枠の中では、左辺の $+$ は、整数同士の加法のことで、「新しく定義するもの」です。一方、右辺にある2つの $+$ は、自然数同士の加法のことで、「すでに定義したもの」です。すでに知っているものを再構成する場合、「何を知っていて、何を定義しているのか」を意識しておかないと、何をやっているのかわからなくなってしまうので注意しましょう。

【広告】
本書は、ラング教授による微積分の教え方についての具体的な一提案である。軽快な語り口で、直観的な考察から、数学的に厳密な理論へと読者を導いていく。高校生の自習書、大学初年級の教科書として最適である。
著者:片山 孝次
出版社:岩波書店
発売日:1978-03-23
ページ数:522 ページ
値段:¥5,170
(2020年10月 時点の情報です)

自然数の加法と整数の加法

自然数の整数への埋め込みでも見たように、自然数 $n$ と 整数 $[(n,0)]$ は同一視できるのでした。

これに従うと、2つの自然数 $a,b$ は、それぞれ $[(a,0)]$, $[(b,0)]$ と同一視できます。また、前者同士の和は $a+b$ であり、後者同士の和は $[(a+b,0)]$ です。つまり、和同士も対応することがわかります。

これは、元だけでなく、加法の構造も対応していると考えられます。なので、整数の加法は、自然数の加法を拡張したものになっている、とも言えます。

おわりに

ここでは、整数の加法の定義を行いました。その際、和が代表元によらずに決まることを確認しました。このような確認は今後よく出てくることになります。

次は、整数の加法の性質をいくつか見ていくことにします。また、引き算の定義もようやく出てきます。