【基本】複素数の極形式と商

ここでは、複素数を極形式で表したときに、複素数の商がどのように計算できるかを見ていきます。

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複素数の極形式と商

【基本】複素数の極形式と積で見たように、複素数を極形式で表したときに、複素数の積は、拡大・縮小と回転に対応していることを見ました。ここでは、商の場合にはどのように対応するかを見ていきます。割り算は掛け算の反対であることを考えると、結果は予想できるかもしれませんが、実際に計算してみましょう。

0でない2つの複素数 $z_1$, $z_2$ を考えます。これらの極形式を表すと
\begin{eqnarray}
z_1 &=& r_1(\cos\theta_1+i\sin\theta_1) \\[5pt] z_2 &=& r_2(\cos\theta_2+i\sin\theta_2) \\[5pt] \end{eqnarray}となるとします。これらを用いて商を計算します。
\begin{eqnarray}
& &
\frac{z_1}{z_2} \\[5pt] &=&
\frac{r_1(\cos\theta_1+i\sin\theta_1)}{r_2(\cos\theta_2+i\sin\theta_2)} \\[5pt] &=&
\frac{r_1}{r_2}\times \frac{(\cos\theta_1+i\sin\theta_1)(\cos\theta_2-i\sin\theta_2)}{(\cos\theta_2+i\sin\theta_2)(\cos\theta_2-i\sin\theta_2)} \\[5pt] \end{eqnarray}ここで、最後の式について考えましょう。後半の分数の分母は $\cos^2\theta_2+\sin^2\theta_2$ なので、 $1$ になることがわかります。一方、分子は、積のときと同じように加法定理を用いて、
\begin{eqnarray}
& &
(\cos\theta_1+i\sin\theta_1)(\cos\theta_2-i\sin\theta_2) \\[5pt] &=&
(\cos\theta_1\cos\theta_2+\sin\theta_1\sin\theta_2) \\
& & +i(\sin\theta_1\cos\theta_2-\cos\theta_1\sin\theta_2) \\[5pt] &=&
\cos(\theta_1-\theta_2) +i \sin(\theta_1-\theta_2) \\[5pt] \end{eqnarray}となります。よって、商は
\begin{eqnarray}
& &
\frac{z_1}{z_2} \\[5pt] &=&
\frac{r_1}{r_2} \{ \cos(\theta_1-\theta_2) +i \sin(\theta_1-\theta_2) \} \\[5pt] \end{eqnarray}となります。

最後の式は極形式になっているので、 $\left|\dfrac{z_1}{z_2}\right|=\dfrac{r_1}{r_2}$ と $\arg \dfrac{z_1}{z_2}=\theta_1-\theta_2$ が成り立つことがわかります。絶対値はそのまま割るだけ、偏角は引いたものになる、ということですね。積のときと逆になっていることもわかります。

複素数の極形式と商
$z_1=r_1(\cos\theta_1+i\sin\theta_1)$, $z_2=r_2(\cos\theta_2+i\sin\theta_2)$ とする。このとき、\[ \frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2} \{ \cos(\theta_1-\theta_2) +i \sin(\theta_1-\theta_2) \} \]が成り立つ。

また、 $\left|\dfrac{z_1}{z_2}\right|=\dfrac{|z_1|}{|z_2|}$ と $\arg \dfrac{z_1}{z_2}=\arg z_1-\arg z_2$ が成り立つ。

例えば、 $2\left( \cos\dfrac{\pi}{6}+i\sin\dfrac{\pi}{6} \right)$ を $3\left( \cos\dfrac{\pi}{4}+i\sin\dfrac{\pi}{4} \right)$ で割ったときの商であれば、絶対値を割り、偏角を引いて\[ \frac{2}{3} \left\{ \cos\left( -\dfrac{\pi}{12}\right)+i\sin\left( -\dfrac{\pi}{12}\right) \right\} \]と計算できます。かなり簡単になります。

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積と商の関係

$z_1$, $z_2$ を先ほどと同じ極形式で表したとします。

複素数を極形式で表した場合、商の絶対値は、絶対値の商になります。これを複素数平面上で考えれば、原点を中心に $\dfrac{1}{r_2}$ 倍したもの、となります。積のときは $r_2$ 倍、商のときは $\dfrac{1}{r_2}$ 倍なので、拡大・縮小が入れ替わることがわかります。

また、商の偏角は、偏角の差になりました。これを複素数平面上で考えれば、原点を中心に時計回りに回転することに対応します。積なら反時計回りの回転、商なら時計回りの回転に対応することになります。

また、このように考えることもできます。先ほどの式で $z_1=1$ としてみましょう。つまり、 $r_1=1$, $\theta_1=0$ としてみるということですね。こうすると、 $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ に対して、\[ \frac{1}{z}=\frac{1}{r}\{\cos(-\theta)+i\sin(-\theta)\} \]と書けることがわかります(直接計算してもわかりますが)。このことからも、 $z$ で割ること、つまり、 $\dfrac{1}{z}$ を掛けることが、原点を中心に $\dfrac{1}{r}$ 倍して、時計回りに $\theta$ だけ回転することに対応していることがわかります。

おわりに

ここでは、複素数の商が、拡大・縮小と回転を表していること、積とは逆の移動を表していることを見ました。商が、逆数の積と同じであることと対応させて考えてみると、理解しやすいでしょう。