【基本】有理数乗の微分

🕒 2018/09/12 🔄 2023/05/01

ここでは、逆関数の微分を用いて、有理数乗の微分を計算していきます。また、合成関数の微分と組み合わせた計算も見ていきます。

📘 目次

有理数乗の微分

【基本】商の微分の微分で見た通り、 $x^n$ （ $n$ は整数）を微分すると、 $nx^{n-1}$ となります。指数と、もとの関数の指数を $1$ 減らしたものとの積、ということですね。

さらに、【基本】逆関数の微分では、 $y=x^{\frac{1}{3} }$ の微分を計算しました。以下では、これを一般化した、 $y=x^p$ （ $x\gt 0$ で、 $p$ は有理数）の微分を考えてみます。

まず、 $y=x^{\frac{1}{n} }$ （ $n$ は正の整数）のときを考えてみましょう。このとき、 $x=y^n$ なので、逆関数の微分から、
\begin{eqnarray} \frac{dy}{dx} &=& \frac{1}{\dfrac{dx}{dy} } \\[5pt] &=& \frac{1}{ny^{n-1} } \\[5pt] &=& \frac{1}{nx^{\frac{n-1}{n} }} \\[5pt] &=& \frac{1}{n}x^{-\frac{n-1}{n} } \\[5pt] &=& \frac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1} \\[5pt] \end{eqnarray}となります。よく見ると、この場合も、「指数と、もとの関数の指数を $1$ 減らしたものとの積」になっています。

さらに、 $n$ を正の整数、 $m$ を整数として、 $y=x^{\frac{m}{n} }$ の微分を計算してみましょう。これは、 $x^{\frac{1}{n} }$ を $m$ 乗したものだ、と考えると、
\begin{eqnarray} \dfrac{dy}{dx} &=& \frac{d}{dx} \left\{x^{\frac{1}{n} }\right\}^m \\[5pt] &=& m\left\{x^{\frac{1}{n} }\right\}^{m-1} \cdot \frac{d}{dx} x^{\frac{1}{n} } \\[5pt] &=& mx^{\frac{m-1}{n} } \cdot \frac{1}{n} x^{\frac{1}{n}-1} \\[5pt] &=& \frac{m}{n} x^{\frac{m}{n}-1} \\[5pt] \end{eqnarray}となります。この場合も、「指数と、もとの関数の指数を $1$ 減らしたものとの積」になっています。

以上から、 $p$ が有理数のときも、 $y=x^p$ を微分すると $y'=p x^{p-1}$ となることがわかります。

$x$ の有理数乗の微分

$p$ が有理数のとき、次が成り立つ。\[ (x^p)'=px^{p-1} \]

これを使えば、 $y=x^{\frac{1}{3} }$ の微分は、 $y'=\dfrac{1}{3}x^{-\frac{2}{3} }$ だとすぐに計算できます。

有理数乗と合成関数の微分

例題

次の関数を微分しなさい。\[ y=\sqrt[3]{x^2+1} \]

3乗根がありますが、これは $\dfrac{1}{3}$ 乗に置き換えたほうが考えやすいです。\[ y=(x^2+1)^{\frac{1}{3} } \]これを、 $u=x^2+1$ と $y=u^{\frac{1}{3} }$ と分解し、合成関数だと考えれば
\begin{eqnarray} y' &=& \frac{1}{3} (x^2+1)^{\frac{1}{3}-1} \cdot (x^2+1)' \\[5pt] &=& \frac{2x}{3\sqrt[3]{(x^2+1)^2} } \end{eqnarray}となります。

これを、定義にさかのぼって計算するのはかなり大変です。今まで導いてきた、【基本】合成関数の微分などの公式を使わないと、複雑な関数の微分を計算するのは難しいでしょう。