【基本】円と直線の共有点（二次方程式に注目）
ここでは、円と直線の共有点の座標を求める方法について見ていきます。出てくる式は違いますが、考え方は2直線の共有点のときと同じです。
円と直線の共有点
(1) $y=x$
(2) $y=x+2$
(3) $y=x+4$
共有点は、円、直線、どちらの上にもあるということなので、どちらの方程式も成り立つということです。そのため、2つの式を使って共有点を求めればいいですね。
(1)の場合、 $y=x$ を代入して
\begin{eqnarray}
x^2+x^2 &=& 2 \\
(x+1)(x-1) &=& 0 \\
\end{eqnarray}となるため、 $x=1,-1$ となります。これを直線の方程式に入れると、共有点の座標は $(1,1),(-1,-1)$ となります。共有点は2点ですね。円の方程式に入れると、 y が1つには決まらないので、直線の方程式に入れましょう。
(2)も同様にすると
\begin{eqnarray}
x^2+(x+2)^2 &=& 2 \\
2x^2+4x+4 &=& 2 \\
x^2+2x+1 &=& 0 \\
(x+1)^2 &=& 0 \\
\end{eqnarray}となるため、 $x=-1$ となります。これを直線の方程式に入れると、共有点の座標は $(-1,1)$ となります。共有点は1点ですね。
(3)は、
\begin{eqnarray}
x^2+(x+4)^2 &=& 2 \\
2x^2+8x+16 &=& 2 \\
x^2+4x+7 &=& 0 \\
\end{eqnarray}となり、判別式が $4^2-4\cdot 7 \lt 0$ なので、これは実数解を持ちません。共有点があるなら、解があるはずなので、これは共有点がないということを意味します。この場合は「共有点なし」です。
ちなみに、それぞれを図でかくと次のようになります。
円と直線の共有点の個数
上の例題からもわかる通り、円 $(x-p)^2+(y-q)^2=r^2$ と直線 $ax+by+c=0$ の共有点を求めるなら、直線の方程式を $y=$ か $x=$ の形にして円の方程式に代入し、 x 座標か y 座標を計算します。得られた解を直線の方程式に代入すれば、もう片方の座標もそれぞれ1つに定まります。よって、円の方程式に代入して得られる二次方程式の解の個数と、円と直線の共有点の個数は一致します。
さらに、二次方程式の解の個数は、判別式によって変わってくるんでしたね（参考：【基本】二次方程式の解の個数と判別式）。
以上から、次のことが言えます。
- $D\gt 0$ $\iff$ 共有点は2点
- $D = 0$ $\iff$ 共有点は1点
- $D\lt 0$ $\iff$ 共有点はなし
例えば、「円と直線が共有点を持つ場合を求めなさい」と言われたら、直線の方程式を変形して円の方程式に代入し、二次方程式の判別式が $0$ 以上となる場合を求めればいいんですね。「異なる2つの共有点」なら、判別式が正の場合を求めます。
おわりに
ここでは、円と直線の共有点の個数について見てきました。2つの式から1つ文字を消去し、二次方程式を考えればいいんでしたね。解の個数と共有点の個数が一致することをおさえておきましょう。
