東京大学 理系 2021年度 第5問 解説
問題編
問題
$\alpha$ を正の実数とする。 $0\leqq \theta\leqq \pi$ における $\theta$ の関数 $f(\theta)$ を、座標平面上の2点 $\mathrm{ A }(-\alpha,-3)$, $\mathrm{ P }(\theta+\sin\theta,\cos\theta)$ 間の距離 $\mathrm{ AP }$ の2乗として定める。
(1) $0\lt \theta\lt \pi$ の範囲に $f'(\theta)=0$ となる $\theta$ がただ1つ存在することを示せ。
(2) 以下が成り立つような $\alpha$ の範囲を求めよ。
$0\leqq \theta\leqq \pi$ における $\theta$ の関数 $f(\theta)$ は、区間 $0\lt \theta\lt\dfrac{\pi}{2}$ のある点において最大になる。
考え方
増減表をかいて考えるだけですが、計算間違いをしないように注意しないといけません。また、1回微分しただけではわからないので、ひたすら微分をしていくしかないです。図形的な観点から攻めていくことは難しいでしょう。
解答編
問題
$\alpha$ を正の実数とする。 $0\leqq \theta\leqq \pi$ における $\theta$ の関数 $f(\theta)$ を、座標平面上の2点 $\mathrm{ A }(-\alpha,-3)$, $\mathrm{ P }(\theta+\sin\theta,\cos\theta)$ 間の距離 $\mathrm{ AP }$ の2乗として定める。
(1) $0\lt \theta\lt \pi$ の範囲に $f'(\theta)=0$ となる $\theta$ がただ1つ存在することを示せ。
解答例
(1)
\begin{eqnarray}
f(\theta)
&=&
(\theta+\sin\theta+\alpha)^2+(\cos\theta+3)^2
\end{eqnarray}なので、
\begin{eqnarray}
& &
f'(\theta) \\[5pt]
&=&
2(\theta+\sin\theta+\alpha)(1+\cos\theta)+2(\cos\theta+3)(-\sin\theta) \\[5pt]
&=&
2(\theta+\sin\theta+\alpha) \\
& & +2\cos\theta(\theta+\sin\theta+\alpha)-2\sin\theta\cos\theta-6\sin\theta \\[5pt]
&=&
2(\theta-2\sin\theta+\alpha)+2(\theta+\alpha)\cos\theta
\end{eqnarray}となる。また、
\begin{eqnarray}
& &
f^{\prime\prime}(\theta) \\[5pt]
&=&
2(1-2\cos\theta)+2\cos\theta-2(\theta+\alpha)\sin\theta \\[5pt]
&=&
2(1-\cos\theta)-2(\theta+\alpha)\sin\theta \\[5pt]
\end{eqnarray}であり、
\begin{eqnarray}
& &
f^{\prime\prime\prime}(\theta) \\[5pt]
&=&
2\sin\theta-2\sin\theta-2(\theta+\alpha)\cos\theta \\[5pt]
&=&
-2(\theta+\alpha)\cos\theta \\[5pt]
\end{eqnarray}となる。
$\alpha$ は正なので、 $f^{\prime\prime}(\theta)$ の増減表は次のようになる。
\begin{array}{c|ccccc}
\theta & 0 & \cdots & \dfrac{\pi}{2} & \cdots &\pi \\
\hline
f^{\prime\prime\prime}(\theta) & & - & 0 & + & \\
\hline
f^{\prime\prime}(\theta) & 0 & \searrow & & \nearrow & 4
\end{array}よって、 $0\leqq \theta\leqq \pi$ の範囲で、 $f^{\prime\prime}(\theta)=0$ となる $\theta$ は2つ存在し、1つは $0$ で、もう1つは $\dfrac{\pi}{2}$ と $\pi$ の間にある（両端は除く）。これを $\beta$ とおく。
\[ f'(\theta)=2(\theta-2\sin\theta+\alpha)+2(\theta+\alpha)\cos\theta \]だから、
\begin{eqnarray}
f'(0)
&=&
4\alpha
\end{eqnarray}であり、
\begin{eqnarray}
f'(\pi)
&=&
2(\pi+\alpha)-2(\pi+\alpha)=0
\end{eqnarray}なので、 $f'(\theta)$ の増減表は次のようになる。
\begin{array}{c|ccccc}
\theta & 0 & \cdots & \beta & \cdots &\pi \\
\hline
f^{\prime\prime}(\theta) & & - & 0 & + & \\
\hline
f^{\prime}(\theta) & 4\alpha & \searrow & & \nearrow & 0
\end{array}この増減表から $f'(\beta)$ は負であることがわかり、 $4\alpha$ は正だから、 $0\lt \theta\lt \pi$ の範囲に $f'(\theta)=0$ となる $\theta$ がただ1つ存在することがわかる。
（終）
解答編 続き
問題
(2) 以下が成り立つような $\alpha$ の範囲を求めよ。
$0\leqq \theta\leqq \pi$ における $\theta$ の関数 $f(\theta)$ は、区間 $0\lt \theta\lt\dfrac{\pi}{2}$ のある点において最大になる。
解答例
(2)
(1)より、 $\dfrac{\pi}{2}$ より大きい $\beta$ で、 $0\leqq \theta\leqq \beta$ の範囲で $f'(\theta)$ が狭義単調減少となるものが存在する。 $f'(0)\gt 0$ だから、 $f'\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$ が $0$ 以上なら、 $0\lt\theta\lt\dfrac{\pi}{2}$ に対して $f(\theta)$ は $f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$ より小さくなる。
一方、 $f'\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\lt 0$ ならば、 $0\leqq \gamma\lt\dfrac{\pi}{2}$ で $f'(\gamma)=0$ となるものがあり、 $0\leqq \theta \leqq \gamma$ で $f(\theta)$ は狭義単調増加、 $\gamma\leqq \theta \leqq \pi$ で $f(\theta)$ は狭義単調減少となるので、 $0\lt \theta\lt\dfrac{\pi}{2}$ の範囲のある点で最大になる。
よって、 $f'\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\lt 0$ となる条件を求めればよい。\[ f'(\theta)=2(\theta-2\sin\theta+\alpha)+2(\theta+\alpha)\cos\theta \]なので
\begin{eqnarray}
f'\left(\dfrac{\pi}{2}\right) & \lt & 0 \\[5pt]
2\left(\frac{\pi}{2}-2+\alpha\right) & \lt & 0 \\[5pt]
\alpha & \lt & 2-\frac{\pi}{2} \\[5pt]
\end{eqnarray}となる。
以上から、求める範囲は\[ 0\lt \alpha \lt 2-\frac{\pi}{2} \]となる。
（終）
