東京大学 理系 2017年度 第5問 解説
問題編
問題
k を実数とし、座標平面上で次の2つの放物線 C, D の共通接線について考える。
\begin{eqnarray} & & C: & & y = x^2+k \\ & & D: & & x = y^2+k \\ \end{eqnarray}(1) 直線 $y=ax+b$ が共通接線であるとき、 a を用いて k と b を表せ。ただし $a\ne -1$ とする。
(2) 傾きが2の共通接線が存在するように k の値を定める。このとき、共通接線が3本存在することを示し、それらの傾きと y 切片を求めよ。
考え方
(1)では、重解を持つことから、判別式が0になる条件を用いて、関係式を導きます。2つ式が出てくるので、どちらかの文字を消す方針で変形していきましょう。
(2)は、(1)から k を求めましょう。そして、他の a の値を求めます。
(1)の結果は、 $a\ne -1$ のケースしか考えていないことに注意しましょう。 k から a を求めるときに、(1)の結果を使っても、2本の接線しか出てきません。 a を求めるときは、2つの判別式が0になるという条件式を使いましょう。
解答編
問題
k を実数とし、座標平面上で次の2つの放物線 C, D の共通接線について考える。
\begin{eqnarray} & & C: & & y = x^2+k \\ & & D: & & x = y^2+k \\ \end{eqnarray}(1) 直線 $y=ax+b$ が共通接線であるとき、 a を用いて k と b を表せ。ただし $a\ne -1$ とする。
(2) 傾きが2の共通接線が存在するように k の値を定める。このとき、共通接線が3本存在することを示し、それらの傾きと y 切片を求めよ。
解答
(1)
$y=ax+b$ は C の接線なので\[ ax+b = x^2+k \]は重解を持つ。この式は\[ x^2-ax+k-b=0 \]と書けるから、この判別式が0になるという条件より
\begin{eqnarray}
a^2-4(k-b) &=& 0 \\[5pt]
4b &=& -a^2+4k \\[5pt]
b &=& -\frac{1}{4}a^2+k \quad \cdots (A)\\[5pt]
\end{eqnarray}が成り立つ。
また、 $y=b$ が D の接線になることはないので $a\ne 0$ としてよい。このとき、 $y=ax+b$ から $x=\dfrac{y-b}{a}$ が成り立つ。これが D の接線となるので
\begin{eqnarray}
\dfrac{y-b}{a} &=& y^2+k \\[5pt]
y-b &=& ay^2+ak \\[5pt]
ay^2-y+ak+b &=& 0 \\[5pt]
\end{eqnarray}は重解を持つ。よって、判別式が0になるので
\begin{eqnarray}
1 -4a(ak+b) &=& 0 \\
1 -4a^2k -4ab &=& 0 \\
\end{eqnarray}が成り立つ。これに $(A)$ を代入して
\begin{eqnarray}
1 -4a^2k -4a \left(-\frac{1}{4}a^2+k\right) &=& 0 \\
1 -4a^2k +a^3-4ak &=& 0 \\
(a+1)(a^2-a+1)-4ak(a+1) &=& 0 \\
(a+1)(a^2-a+1-4ak) &=& 0 \quad \cdots (B) \\
\end{eqnarray}が得られる。
ここで、 $a\ne -1$ なので
\begin{eqnarray}
a^2-a+1-4ak &=& 0 \\[5pt]
4ak &=& a^2-a+1 \\[5pt]
k &=& \frac{a^2-a+1}{4a} \\[5pt]
\end{eqnarray}が得られる。
また、これを $(A)$ に代入して
\begin{eqnarray}
b &=& -\frac{1}{4}a^2+\frac{a^2-a+1}{4a}\\[5pt]
&=& \frac{-a^3+a^2-a+1}{4a}\\[5pt]
\end{eqnarray}が得られる。
よって、
\begin{eqnarray}
k &=& \frac{a^2-a+1}{4a} \\[5pt]
b &=& \frac{-a^3+a^2-a+1}{4a}\\[5pt]
\end{eqnarray}と表すことができる。
(2)
$a=2$ のとき、(1)の結果から
\begin{eqnarray}
k
&=&
\frac{2^2-2+1}{4\cdot 2}
=
\frac{3}{8}
\end{eqnarray}となることがわかる。
このとき、(1)の $(B)$ は
\begin{eqnarray}
(a+1)\left(a^2-a+1-4a\times \frac{3}{8}\right) &=& 0 \\
(a+1)(2a^2-2a+2-3a) &=& 0 \\
(a+1)(2a^2-5a+2) &=& 0 \\
(a+1)(2a-1)(a-2) &=& 0 \\
\end{eqnarray}となる。よって、これを満たす a は $\displaystyle -1, 2, \frac{1}{2}$ である。
(1)の $(A)$ は $a$ の値によらず（ $-1$ のときでも）成り立つ。よって、 $a=-1$ のとき\[ b=-\frac{1}{4}a^2+k=-\frac{1}{4}+\frac{3}{8}=\frac{1}{8} \]となる。 $a=2$ のときは\[ b=-\frac{4}{4}+\frac{3}{8}=-\frac{5}{8} \]となる。 $a=\dfrac{1}{2}$ のときは\[ b=-\frac{1}{4\cdot 4}+\frac{3}{8}=\frac{5}{16} \]となる。
以上から、共通接線は3本あり、これらの傾きと y 切片の組は、 $\left(-1,\dfrac{1}{8}\right)$, $\left(2,-\dfrac{5}{8}\right)$, $\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{5}{16}\right)$ となる。
（終）
解説
(1)は、判別式が0になるという条件から、関係式を導きました。 $a\ne -1$ なので、 a と k の関係が求められます。これが分かれば b を表すこともできます。
(2)では、(1)の結果から k の値を出すことができます。他の a の値は、(1)の結果ではなく、(1)の $(B)$ を使います。(1)は $a\ne -1$ のときを考えていますが、 $a=-1$ のときも、両方の判別式が0になることがあります。b を求めるときにも、(1)の結果ではなく、 $a=-1$ でも成り立つ式を使うことに注意しましょう。
なお、グラフは $y=x$ に関して対称なので、ある共通接線の傾きが $2$ であれば、傾きが $\dfrac{1}{2}$ の共通接線が存在することはすぐにわかります。
