東京大学 理系 2017年度 第2問 解説
問題編
問題
座標平面上で x 座標と y 座標がいずれも整数である点を格子点という。格子点上を次の規則に従って動く点 P を考える。
(a) 最初に、点 P は原点 O にある。
(b) ある時刻で点 P が格子点 $(m,n)$ にあるとき、その1秒後の点 P の位置は、隣接する格子点 $(m+1,n)$, $(m,n+1)$, $(m-1,n)$, $(m,n-1)$ のいずれかであり、また、これらの点に移動する確率は、それぞれ $\dfrac{1}{4}$ である。(1) 点 P が、最初から6秒後に直線 $y=x$ 上にある確率を求めよ。
(2) 点 P が、最初から6秒後に原点 O にある確率を求めよ。
考え方
(1)は、点から点への移動と考えるとパターンが多すぎます。(2)より(1)の方が先に出題されているということは、点の移動ではなく、線に着目したほうが簡単に解けるのではないか、と想像できます。
(2)は、(1)のことをいったん忘れて解くことができます。場合分けはそんなに多くないので、こちらは点から点の移動で考えたほうが早いかもしれません。
人によっては、(2)はできて(1)ができない、ということもあります。(1)を使わなくても(2)はできる可能性があるので、挑戦してみましょう。
解答編
問題
座標平面上で x 座標と y 座標がいずれも整数である点を格子点という。格子点上を次の規則に従って動く点 P を考える。
(a) 最初に、点 P は原点 O にある。
(b) ある時刻で点 P が格子点 $(m,n)$ にあるとき、その1秒後の点 P の位置は、隣接する格子点 $(m+1,n)$, $(m,n+1)$, $(m-1,n)$, $(m,n-1)$ のいずれかであり、また、これらの点に移動する確率は、それぞれ $\dfrac{1}{4}$ である。(1) 点 P が、最初から6秒後に直線 $y=x$ 上にある確率を求めよ。
(2) 点 P が、最初から6秒後に原点 O にある確率を求めよ。
解答
(1)
(b)より、点 P が $y=x+a$ 上にあるとき、この1秒後は $y=x+a+1$ か $y=x+a-1$ のどちらかにあり、左か上に移動したときは前者、右か下に移動したときは後者である。よって、 $y=x+a+1$, $y=x+a-1$ にある確率は、ともに $\dfrac{1}{2}$ である。
よって、最初から6秒後に直線 $y=x$ 上にあるのは、 $y-x$ の値が1増えることが3回起き、1減ることが3回起きたときなので、求める確率は\[ {}_6 \mathrm{ C }_3 \left(\frac{1}{2}\right)^6=20\times\frac{1}{64}=\frac{5}{16} \]となる。
(2)
点 P が6秒後に原点にいるとき、上に移動する回数と下に移動する回数は同じなので、上に移動する回数は、3以下である。また、右に移動する回数と左に移動する回数も同じである。
上に移動する回数が3回のとき、右・左に移動する回数は0回。
上に移動する回数が2回のとき、右・左に移動する回数は1回。
上に移動する回数が1回のとき、右・左に移動する回数は2回。
上に移動する回数が0回のとき、右・左に移動する回数は3回となる。
6回移動するうち、方向の選び方を考え、さらに上下・左右の対称性を考えると、求める確率は
\begin{eqnarray}
& &
2\times \left\{ {}_6 \mathrm{ C }_3 \left(\frac{1}{4}\right)^6 +{}_6 \mathrm{ C }_2\cdot {}_4 \mathrm{ C }_2 \cdot {}_2 \mathrm{ C }_1 \left(\frac{1}{4}\right)^6\right\} \\[5pt]
&=&
2(20+15\cdot6\cdot2) \times \frac{1}{4^6} \\[5pt]
&=&
400 \times \frac{1}{4^6} \\[5pt]
&=&
25 \times \frac{1}{4^4} \\[5pt]
&=&
\frac{25}{256} \\[5pt]
\end{eqnarray}となる。
（終）
解説
(1)では、点から点への移動ではなく、線から線への移動と考えることがポイントです。 $y-x$ の変化を考える、と言ってもいいでしょう。
(2)はその考えを一回捨てて考えることができます。方向を考えて計算したほうが早いでしょう。
なお、 $y=x$ 上にある確率と $y=-x$ 上にある確率は、対称性から同じになります。(1)の答えを2乗したものが(2)の答えになっています。