東京大学 理系 2017年度 第6問 解説

問題編

問題

 点 O を原点とする座標空間内で、一辺の長さが $1$ の正三角形 OPQ を動かす。また、点 $\mathrm{ A }(1,0,0)$ に対して、 $\angle \mathrm{ AOP }$ を $\theta$ とおく。ただし、 $0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ}$ とする。

(1) 点 Q が $(0,0,1)$ にあるとき、点 Px 座標がとりうる値の範囲と、 $\theta$ がとりうる値の範囲を求めよ。

(2) 点 Q が平面 $x=0$ 上を動くとき、辺 OP が通過しうる範囲を K とする。 K の体積を求めよ。

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考え方

(1)は2点が固定されているので、 P はある円周上を動くことがわかります。よって、図形から取りうる値の範囲が求められます。

(2)は、まず、どういう立体なのか考えましょう。Q が平面 $x=0$ を動いたとき、(1)をどう使えばいいか考えます。

体積の出し方はいろいろありますが、(1)を使うために、平面 $y=0$ での断面を考えたほうがいいでしょう。

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