東京大学 理系 2017年度 第4問 解説
問題編
問題
$p=2+\sqrt{5}$ とおき、自然数 $n=1,2,3,\cdots$ に対して\[ a_n=p^n+\left(-\frac{1}{p}\right)^n \]と定める。以下の問いに答えよ。ただし設問(1)は結論のみを書けばよい。
(1) $a_1,a_2$ の値を求めよ。
(2) $n\geqq 2$ とする。積 $a_1a_n$ を、 $a_{n+1}$ と $a_{n-1}$ を用いて表せ。
(3) $a_n$ は自然数であることを示せ。
(4) $a_{n+1}$ と $a_n$ の最大公約数を求めよ。
考え方
(1)は有理化をするだけです。(2)は展開するだけです。
(3)は(2)で得られた式を変形すれば、自然数になることはほぼ自明です。(4)は(1)の結果と(2)の式を使えば、最大公約数がいくらになるかは予想がつきます。
整数問題にしては、難易度は高くありません。
解答編
問題
$p=2+\sqrt{5}$ とおき、自然数 $n=1,2,3,\cdots$ に対して\[ a_n=p^n+\left(-\frac{1}{p}\right)^n \]と定める。以下の問いに答えよ。ただし設問(1)は結論のみを書けばよい。
(1) $a_1,a_2$ の値を求めよ。
(2) $n\geqq 2$ とする。積 $a_1a_n$ を、 $a_{n+1}$ と $a_{n-1}$ を用いて表せ。
(3) $a_n$ は自然数であることを示せ。
(4) $a_{n+1}$ と $a_n$ の最大公約数を求めよ。
解答
(1)\begin{eqnarray} -\frac{1}{p} &=& -\frac{1}{2+\sqrt{5} } \\[5pt] &=& -\frac{2-\sqrt{5} }{(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})} \\[5pt] &=& 2-\sqrt{5} \end{eqnarray}なので、 \begin{eqnarray} a_1 &=& (2+\sqrt{5})+(2-\sqrt{5}) = 4 \\ a_2 &=& (2+\sqrt{5})^2+(2-\sqrt{5})^2 \\ &=& 4+4\sqrt{5}+5+4-4\sqrt{5}+5 \\ &=& 18 \end{eqnarray}となる。
(2)
\begin{eqnarray}
a_1a_n
&=&
\left(p-\frac{1}{p}\right) \left\{p^n+\left(-\frac{1}{p}\right)^n\right\} \\
&=&
p^{n+1}+\left(-\frac{1}{p}\right)^{n+1} -p^{n-1} -\left(-\frac{1}{p}\right)^{n-1} \\
&=&
a_{n+1}-a_{n-1} \\
\end{eqnarray}なので、\[ a_1a_n = a_{n+1}-a_{n-1} \]と表すことができる。
(3)
(1)より、 $n=1,2$ のときは $a_n$ は自然数である。
また、(1)(2)より
\begin{eqnarray}
4a_n &=& a_{n+1}-a_{n-1} \\
a_{n+1} &=& 4a_n+a_{n-1} \\
\end{eqnarray}が成り立つ。この式から $n=k,k+1$ のとき（k は自然数）、 $a_n$ が自然数なら $n=k+2$ のときも $a_n$ が自然数になることがわかる。
よって、数学的帰納法から、すべての自然数 n に対して、 $a_n$ が自然数になることがわかる。
(4)
$a_{n+1},a_n$ が自然数 m で割り切れるとき、 $a_{n-1}=a_{n+1}-4a_n$ より、 $a_{n-1}$ も m で割り切れる。よって、これを繰り返し用いると、 $a_1, a_2$ はともに m で割り切れる。よって、m は1か2しかない。これより、求める最大公約数は2以下であることがわかる。
$a_1,a_2$ は2で割り切れる。また、\[ a_{n+1} = 4a_n+a_{n-1} \]から、 $n=k,k+1$ のとき（k は自然数）、 $a_n$ が2で割り切れるなら $n=k+2$ のときも $a_n$ が2で割り切れることがわかる。よって、数学的帰納法から、すべての自然数 n に対して、 $a_n$ が2で割り切れることがわかるので、求める最大公約数は2以上である。
以上から、求める最大公約数は、2である。
（終）
解説
(1)は有理化をするだけです。(2)は p のまま変形してもいいですし、一般的な形で変形してから代入してもかまいません。
(3)は(2)の式からほとんど明らかです。 $a_1$ が具体的な値として求められるので、それを代入すれば数学的帰納法を使って示せます。
(4)も、(2)の式からほとんど明らかです。漸化式をさかのぼっていけるので、最大公約数は2以下であることがわかり、また同じ漸化式を用いて、どの項も2で割り切れることがわかるので、最大公約数が2であることが示せます。