東京大学 理系 2017年度 第4問 解説

問題編

問題

 $p=2+\sqrt{5}$ とおき、自然数 $n=1,2,3,\cdots$ に対して\[ a_n=p^n+\left(-\frac{1}{p}\right)^n \]と定める。以下の問いに答えよ。ただし設問(1)は結論のみを書けばよい。
(1) $a_1,a_2$ の値を求めよ。
(2) $n\geqq 2$ とする。積 $a_1a_n$ を、 $a_{n+1}$ と $a_{n-1}$ を用いて表せ。
(3) $a_n$ は自然数であることを示せ。
(4) $a_{n+1}$ と $a_n$ の最大公約数を求めよ。

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考え方

(1)は有理化をするだけです。(2)は展開するだけです。

(3)は(2)で得られた式を変形すれば、自然数になることはほぼ自明です。(4)は(1)の結果と(2)の式を使えば、最大公約数がいくらになるかは予想がつきます。

整数問題にしては、難易度は高くありません。