東京大学 理系 2016年度 第1問 解説

問題編

【問題】
eを自然対数の底、すなわち$\displaystyle e=\lim_{t\to\infty}\left(1+\frac{1}{t}\right)^t$とする。すべての正の実数xに対し、次の不等式が成り立つことを示せ。
\[ \left(1+\frac{1}{x}\right)^x \lt e \lt \left(1+\frac{1}{x}\right)^{x+\frac{1}{2}} \]

【考え方】
eの定義が書かれていますが、この定義を使って式変形していくような問題ではありません。関数を使った不等式の問題によくある、微分を使って解く問題です。

左と右で同じような式が出てくるので、ここではまとめて計算することにします。