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東京大学 理系 2016年度 第1問 解説

問題編

【問題】
eを自然対数の底、すなわち$\displaystyle e=\lim_{t\to\infty}\left(1+\frac{1}{t}\right)^t$とする。すべての正の実数xに対し、次の不等式が成り立つことを示せ。
\[ \left(1+\frac{1}{x}\right)^x \lt e \lt \left(1+\frac{1}{x}\right)^{x+\frac{1}{2} } \]

【考え方】
eの定義が書かれていますが、この定義を使って式変形していくような問題ではありません。関数を使った不等式の問題によくある、微分を使って解く問題です。

左と右で同じような式が出てくるので、ここではまとめて計算することにします。


解答編

【問題】
eを自然対数の底、すなわち$\displaystyle e=\lim_{t\to\infty}\left(1+\frac{1}{t}\right)^t$とする。すべての正の実数xに対し、次の不等式が成り立つことを示せ。
\[ \left(1+\frac{1}{x}\right)^x \lt e \lt \left(1+\frac{1}{x}\right)^{x+\frac{1}{2} } \]

【解答】
aを0以上の実数とし、\[f(x)=\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x+a}\]とする。このとき、\[\log f(x)=(x+a) \log \left(1+\frac{1}{x}\right)\]となる。

これを微分すると
\begin{eqnarray} \frac{f'(x)}{f(x)} &=& \log \left(1+\frac{1}{x}\right) + (x+a)\frac{-\frac{1}{x^2} }{1+\frac{1}{x} } \\[5pt] &=& \log \left(1+\frac{1}{x}\right) - (x+a)\frac{1}{x(x+1)} \end{eqnarray}となる。

この左辺を$g(x)$とおいて、もう一度微分すると、
\begin{eqnarray} g'(x) &=& \frac{-\frac{1}{x^2} }{1+\frac{1}{x} } -\frac{x(x+1) - (x+a)(2x+1)}{x^2(x+1)^2} \\[5pt] &=& \frac{-1}{x(x+1)} -\frac{-x^2 -2ax -a}{x^2(x+1)^2} \\[5pt] &=& \frac{-x(x+1) +x^2 +2ax +a}{x^2(x+1)^2} \\[5pt] &=& \frac{(2a-1)x +a}{x^2(x+1)^2} \end{eqnarray}となる。

この式から、$a=0、x\gt 0$のとき、$g'(x)\lt 0$である。よって、$g(x)$は単調減少。また、$x\to\infty$のとき$g(x)\to 0$なので、$g(x)\gt 0$となる。よって、$\log f(x)$は単調増加となり、$f(x)$も単調増加となる。$x\to\infty$のとき$f(x)\to e$なので、$f(x) \lt e$、つまり、左側の不等式が成り立つ。

また、先ほどの式から、$a=\frac{1}{2}$のとき、$g'(x)\gt 0$である。よって、$g(x)$は単調増加。また、$x\to\infty$のとき$g(x)\to 0$なので、$g(x)\lt 0$となる。よって、$\log f(x)$は単調減少となり、$f(x)$も単調減少となる。$x\to\infty$のとき$f(x)\to e$なので、$f(x) \gt e$、つまり、右側の不等式が成り立つ。

よって、\[ \left(1+\frac{1}{x}\right)^x \lt e \lt \left(1+\frac{1}{x}\right)^{x+\frac{1}{2} } \]が成り立つ。

【解答終】

【解説】
2回微分をする必要はありますが、極値をとることがないので、微分した後の議論はスムーズになります。上のようにまとめて計算しなくても、左側・右側の不等式を別々に出してもいいです。似たような計算になりますが。

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