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東京大学 理系 2016年度 第5問 解説

問題編

【問題】
kを正の整数とし、10進法で表された小数点以下k桁の実数
\[0.a_1a_2\cdots a_k = \frac{a_1}{10}+\frac{a_2}{10^2}+\cdots \frac{a_k}{10^k}\]を1つとる。ここで、$a_1,a_2,\cdots ,a_k$は0から9までの整数で、$a_k\ne 0$とする。

(1) 次の不等式を満たす正の整数nをすべて求めよ。\[ 0.a_1a_2\cdots a_k \leqq \sqrt{n}-10^k \lt 0.a_1a_2\cdots a_k + 10^{-k} \]
(2) pが$5 \cdot 10^{k-1}$以上の整数ならば、次の不等式をみたす正の整数mが存在することを示せ。\[ 0.a_1a_2\cdots a_k \leqq \sqrt{m}-p \lt 0.a_1a_2\cdots a_k + 10^{-k} \]
(3) 実数xに対し、$r\leqq x \lt r+1$をみたす整数rを$\lbrack x \rbrack$で表す。$\sqrt{s}-\lbrack \sqrt{s} \rbrack=0.a_1a_2\cdots a_k$をみたす正の整数sは存在しないことを示せ。

【考え方】
もう見るだけで嫌になりそうな問題ですが、「ルートを消したい」という気持ちで変形していけば、(1)は解けます。この小数の表記が何を意味しているか考えながら変形していくと、条件をみたす整数を直接書き表すことができます。

(2)も、「ルートを消す」方向で変形していけば解けます。(1)とほぼ同じ流れで解けます。

(3)も(2)のヒントになっていると思わせておいて、全然違う問題です。よく見ると、$\sqrt{s}$は有理数ということがわかるので、条件式を満たすsが存在しないことも簡単に示せます。

見た目ほど怖い問題ではありません。


解答編

【問題】
kを正の整数とし、10進法で表された小数点以下k桁の実数
\[0.a_1a_2\cdots a_k = \frac{a_1}{10}+\frac{a_2}{10^2}+\cdots \frac{a_k}{10^k}\]を1つとる。ここで、$a_1,a_2,\cdots ,a_k$は0から9までの整数で、$a_k\ne 0$とする。

(1) 次の不等式を満たす正の整数nをすべて求めよ。\[ 0.a_1a_2\cdots a_k \leqq \sqrt{n}-10^k \lt 0.a_1a_2\cdots a_k + 10^{-k} \]
(2) pが$5 \cdot 10^{k-1}$以上の整数ならば、次の不等式をみたす正の整数mが存在することを示せ。\[ 0.a_1a_2\cdots a_k \leqq \sqrt{m}-p \lt 0.a_1a_2\cdots a_k + 10^{-k} \]
(3) 実数xに対し、$r\leqq x \lt r+1$をみたす整数rを$\lbrack x \rbrack$で表す。$\sqrt{s}-\lbrack \sqrt{s} \rbrack=0.a_1a_2\cdots a_k$をみたす正の整数sは存在しないことを示せ。

【解説】
(1)
$a=0.a_1a_2\cdots a_k$とする。$0 \lt a \lt 1$である。

条件の左側の不等号は
\begin{eqnarray} a + 10^k & \leqq & \sqrt{n} \\ 10^{2k} +2\cdot 10^k a + a^2 & \leqq & n \end{eqnarray}と変形できる。 ここで、$10^k a$が整数であることと$0 \lt a^2 \lt 1$より、nは$10^{2k} +2\cdot 10^k a +1$以上の整数となる。

また、右側の不等号は
\begin{eqnarray} \sqrt{n} & \lt & a + 10^k + 10^{-k} \\ n & \lt & \{ 10^k + (a + 10^{-k}) \} ^2 \\ n & \lt & 10^{2k} +2 \cdot 10^k a + 2 + (a + 10^{-k})^2 \end{eqnarray}と変形できる。 ここで、$10^k a$が整数であることと$0 \lt a + 10^{-k} \leqq 1$より、nは$10^{2k} +2\cdot 10^k a +2$以下の整数となる。

よって、与えられた不等式を満たすnは次の2つ。
 $10^{2k} +2\cdot 10^k \cdot 0.a_1a_2 \cdots a_n +1$、$10^{2k} +2\cdot 10^k \cdot 0.a_1a_2 \cdots a_n +2$

(2)
条件の左側の不等式より、
\begin{eqnarray} a + p & \leqq & \sqrt{m} \\ p^2 +2ap + a^2 & \leqq & m \quad \cdots (A) \end{eqnarray}と変形できる。

また、右側の不等式より、
\begin{eqnarray} \sqrt{m} & \lt & a + p + 10^{-k} \\ m & \lt & p^2 + 2ap + a^2 + 2a\cdot 10^{-k} +10^{-2k} + 2p\cdot 10^{-k} \quad \cdots (B) \end{eqnarray}と変形できる。

ここで、(B)の右辺から(A)の左辺を引くと
\begin{eqnarray} & & 2a\cdot 10^{-k} +10^{-2k} + 2p\cdot 10^{-k} \\ & \gt & 2p\cdot 10^{-k} \\ & \geqq & 2 \cdot 5 \cdot 10^{k-1} \cdot 10^{-k} \\ &=& 1 \end{eqnarray}となる。

以上から、(B)の右辺の整数部分は、(A)の左辺以上となるので、条件をみたすmは存在する。

(3)
ある整数sが$\sqrt{s}-\lbrack \sqrt{s} \rbrack=0.a_1a_2\cdots a_k$をみたすとする。

$\sqrt{s}=\lbrack \sqrt{s} \rbrack+0.a_1a_2\cdots a_k$なので、$\sqrt{s}$は有理数。よって、互いに素な正の整数u,vを使って、$\sqrt{s}=u/v$とかける。

この式から$sv^2=u^2$が得られる。vが2以上の素数で割り切れるとすると、左辺はその素数で割り切れ、右辺は割り切れない。よって、vは1となる。つまり、$\sqrt{s}=u$となる。これは、$\sqrt{s}-\lbrack \sqrt{s} \rbrack=0.a_1a_2\cdots a_k \gt 0$と矛盾する。

よって、題意を満たす整数sは存在しない。

【解答終】

【解説】
ルートを消すように変形していけば解ける問題です。(1)(2)が「存在するもの」を考えている一方、(3)が「存在しないもの」を考えています。考えるものが異なるので、解き方を使いまわすことはできません。

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