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東京大学 理系 2016年度 第2問 解説

問題編

【問題】
A、B、Cの3つのチームが参加する野球の大会を開催する。以下の方式で試合を行い、2連勝したチームが出た時点で、そのチームを優勝チームとして大会は終了する。

 (a) 1試合目でAとBが対戦する。
 (b) 2試合目で、1試合目の勝者と、1試合目で待機していたCが対戦する。
 (c) k試合目で優勝が決まらない場合は、k試合目の勝者と、k試合目で待機していたチームが$k+1$試合目で対戦する。ここでkは2以上の整数とする。

なお、すべての対戦において、それぞれのチームが勝つ確率は$\frac{1}{2}$で、引き分けはないものとする。

(1) nを2以上の整数とする。ちょうどn試合目でAが優勝する確率を求めよ。
(2) mを正の整数とする。総試合数が$3m$回以下でAが優勝したとき、Aの最後の対戦相手がBである条件付確率を求めよ。

【考え方】
(1)を考える際、まず「$n-1$試合目まで優勝が決まらない」ことが必要なので、優勝が決まらないためには、どのチームが勝たないといけないのか、書き出して考えてみましょう。すると、1試合目でAが勝てばその後の勝利チームは1通りに決まり、Bが勝つ場合も1通りに決まることがわかります。

(2)は単に等比数列の和に関する計算問題ですが、除外しないといけない項がいくつかあることに注意します。計算は煩雑です。

なお、文系第2問で、これと似た問題が出題されています。


解答編

【問題】
A、B、Cの3つのチームが参加する野球の大会を開催する。以下の方式で試合を行い、2連勝したチームが出た時点で、そのチームを優勝チームとして大会は終了する。

 (a) 1試合目でAとBが対戦する。
 (b) 2試合目で、1試合目の勝者と、1試合目で待機していたCが対戦する。
 (c) k試合目で優勝が決まらない場合は、k試合目の勝者と、k試合目で待機していたチームが$k+1$試合目で対戦する。ここでkは2以上の整数とする。

なお、すべての対戦において、それぞれのチームが勝つ確率は$\frac{1}{2}$で、引き分けはないものとする。

(1) nを2以上の整数とする。ちょうどn試合目でAが優勝する確率を求めよ。
(2) mを正の整数とする。総試合数が$3m$回以下でAが優勝したとき、Aの最後の対戦相手がBである条件付確率を求めよ。

【解答】
(1)
kを2以上の整数とするとき、$k-1$試合目でXが勝ちk試合目でXとYが対戦するとき、そのk回目の試合を「X-Y」と書くことにする(XとYはA・B・Cのどれか)。

2試合目は、「A-C」か「B-C」しかない。

ずっと優勝が決まらないとすると、2試合目が「A-C」のとき、3試合目以降は、「C-B」「B-A」「A-C」となり、以降これが繰り返されることになる。つまり、lを正の整数とするとき、$3l$試合目は「C-B」、$(3l+1)$試合目は「B-A」、$(3l+2)$試合目は「A-C」となる。もしn試合目でAが優勝するには、「A-C」の試合でAが勝つ場合しかない。よって、$n=3l+2$のときしかない。このとき、優勝する確率は、各試合で勝つチームが1通りしかないので、$\displaystyle \left( \frac{1}{2} \right)^n$となる。

2試合目が「B-C」の場合も同様で、ずっと優勝が決まらないとすると、3試合目以降は、「C-A」「A-B」「B-C」となり、以降これが繰り返されることになる。つまり、lを正の整数とするとき、$3l$試合目は「C-A」、$(3l+1)$試合目は「A-B」、$(3l+2)$試合目は「B-C」となる。もしn試合目でAが優勝するには、「A-B」の試合でAが勝つ場合しかない。よって、$n=3l+1$のときしかない。このとき、優勝する確率は、各試合で勝つチームが1通りしかないので、$\displaystyle \left( \frac{1}{2} \right)^n$となる。

以上から、求める確率は以下の通りとなる。
nが3の倍数のとき:0
nが3の倍数でないとき:$\displaystyle \left( \frac{1}{2} \right)^n$

(2)
(1)より、総試合数が$3m$以下でAが優勝する確率は、$\displaystyle \left( \frac{1}{2} \right)^n$をnが1から$3m$まで足したものから、nが1のものと3の倍数のものを引いた値に等しい。よって、
\begin{eqnarray} & & \sum_{n=1} ^ {3m} \left( \frac{1}{2} \right)^n -\frac{1}{2} -\sum_{n=1} ^ m\left( \frac{1}{2} \right)^{3n} \\[5pt] &=& \frac{\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2^{3m} }\right)}{1-\frac{1}{2} } -\frac{1}{2} -\frac{\frac{1}{8}\left(1-\frac{1}{8^m}\right)}{1-\frac{1}{8} } \\[5pt] &=& 1 -\frac{1}{8^m} -\frac{1}{2} -\frac{1}{7} +\frac{1}{7\cdot 8^m} \\[5pt] &=& \frac{5}{14} -\frac{6}{7\cdot 8^m} \end{eqnarray}となる。

また、このとき、最後の対戦相手がBである確率は、(1)より、$\displaystyle \left( \frac{1}{2} \right)^{3l+1}$をlが1から$m-1$まで足したものに等しい。よって、
\begin{eqnarray} & & \sum_{l=1} ^ {m-1} \left( \frac{1}{2} \right)^{3l+1} \\[5pt] &=& \frac{1}{2} \sum_{l=1} ^ {m-1} \left( \frac{1}{8} \right)^l \\[5pt] &=& \frac{1}{2} \frac{\frac{1}{8}\left(1-\frac{1}{8^{m-1} }\right)}{1-\frac{1}{8} } \\[5pt] &=& \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{7} \cdot \left(\frac{1}{8}-\frac{1}{8^m}\right) \\[5pt] &=& \frac{1}{14} -\frac{4}{7\cdot 8^m} \end{eqnarray}となる。

以上から、求める条件付確率は、
\begin{eqnarray} & & \frac{ \frac{1}{14} -\frac{4}{7\cdot 8^m} }{ \frac{5}{14} -\frac{6}{7\cdot 8^m} } \\[5pt] &=& \frac{ 8^m -8 }{ 5\cdot 8^m -12 } \end{eqnarray}となる。

【解答終】

【解説】
1試合目で勝ったチームが決まれば、その後の勝利チームが自動的に決まっていくことに気づけば、(1)を解くのは簡単です。いくつか書き出してみて、状況を把握することが重要です。

(2)は、Aが優勝する確率を計算する際、nが1の場合や3の倍数を除く必要があります。特に、1の場合を除くことに注意します。

別の出し方としては、nが$3l+1$のときと$3l+2$のときに分けて足す方法もあります。しかし、別に計算は楽にはなりません。

Aが優勝したときに、最後の対戦相手がBである確率は、(1)の後半のケース、つまり、1試合目でBが勝つケースしかありません。これも、「1試合目で優勝」のケースが除外されるように足さないといけません。上の解答では、4試合目から$3m-2$試合目を足しています。項の数が$m-1$個であることに注意します。

(2)は計算するだけですが、煩雑です。間違えずに計算するのはなかなか難しいです。

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