東京大学 文系 2017年度 第4問 解説

問題編

問題

 $p=2+\sqrt{5}$ とおき、自然数 $n=1,2,3,\cdots$ に対して\[ a_n=p^n+\left(-\frac{1}{p}\right)^n \]と定める。以下の問いに答えよ。ただし設問(1)は結論のみを書けばよい。
(1) $a_1,a_2$ の値を求めよ。
(2) $n\geqq 2$ とする。積 $a_1a_n$ を、 $a_{n+1}$ と $a_{n-1}$ を用いて表せ。
(3) $a_n$ は自然数であることを示せ。
(4) $a_{n+1}$ と $a_n$ の最大公約数を求めよ。

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本書は、格好よく短くまとめた解答を提示するのではなく、

・受験生が「少し頑張れば自分にもできる」解法
・制限時間のあるプレッシャーの中でも実行可能な解法
・類似問題に出会ったときに同じように解くことができる解法
・部分点を稼ぎやすいアプローチによる解法

を採用しました。地道で確実な解法で、1点でも多く取ろうということです。どうアプローチしていくか、ということにも十分ページを割きました。
著者: 安田 亨
出版社: 東京出版
発売日: 2018/12/12
468ページ

考え方

この問題は、理系第4問と同じ問題なので、解答は理系のページをご覧ください。