東京大学 文系 2017年度 第3問 解説

問題編

問題

　座標平面上で x 座標と y 座標がいずれも整数である点を格子点という。格子点上を次の規則に従って動く点 P を考える。
　(a) 最初に、点 P は原点 O にある。
　(b) ある時刻で点 P が格子点 $(m,n)$ にあるとき、その1秒後の点 P の位置は、隣接する格子点 $(m+1,n)$, $(m,n+1)$, $(m-1,n)$, $(m,n-1)$ のいずれかであり、また、これらの点に移動する確率は、それぞれ $\dfrac{1}{4}$ である。

(1) 最初から1秒後の点の座標を $(s,t)$ とする。 $t-s=-1$ となる確率を求めよ。
(2) 点 P が、最初から6秒後に直線 $y=x$ 上にある確率を求めよ。

考え方

(1)は、問題文を読めばすぐに求められます。(2)は、点から点への移動と考えるとパターンが多すぎます。(1)で見たように、座標の差に着目するか、 $y=x+a$ の形の直線に着目して解きましょう。

なお、理系第2問と似た問題になっています。理系は、(1)がなくていきなり(2)から始まっています。

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解答編

問題

　座標平面上で x 座標と y 座標がいずれも整数である点を格子点という。格子点上を次の規則に従って動く点 P を考える。
　(a) 最初に、点 P は原点 O にある。
　(b) ある時刻で点 P が格子点 $(m,n)$ にあるとき、その1秒後の点 P の位置は、隣接する格子点 $(m+1,n)$, $(m,n+1)$, $(m-1,n)$, $(m,n-1)$ のいずれかであり、また、これらの点に移動する確率は、それぞれ $\dfrac{1}{4}$ である。

(1) 最初から1秒後の点の座標を $(s,t)$ とする。 $t-s=-1$ となる確率を求めよ。
(2) 点 P が、最初から6秒後に直線 $y=x$ 上にある確率を求めよ。

解答

(1)
1秒後に $t-s=-1$ となるのは、点 P が下か右に移動したときなので、その確率は $\dfrac{1}{2}$ である。

(2)
(b)より、点 P が $y=x+a$ 上にあるとき、この1秒後は $y=x+a+1$ か $y=x+a-1$ のどちらかにあり、左か上に移動したときは前者、右か下に移動したときは後者である。よって、 $y=x+a+1$, $y=x+a-1$ にある確率は、ともに $\dfrac{1}{2}$ である。

よって、最初から6秒後に直線 $y=x$ 上にあるのは、 $y-x$ の値が1増えることが3回起き、1減ることが3回起きたときなので、求める確率は\[ {}_6 \mathrm{ C }_3 \left(\frac{1}{2}\right)^6=20\times\frac{1}{64}=\frac{5}{16} \]となる。

（終）

解説

(1)では、直線 $y=x-1$ 上にある確率を求めたことになります。これを用いて、(2)では、線から線への移動を考えています。 $y-x$ の変化に注目していると考えても同じことです。