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東京大学 文系 2017年度 第1問 解説

問題編

問題

 座標平面において2つの放物線 $A: y=s(x-1)^2$ と $B:y=-x^2+t^2$ を考える。ただし、 s, t は実数で、 $0\lt s$, $0\lt t \lt 1$ をみたすとする。放物線 Ax 軸および y 軸で囲まれる領域の面積を P とし、放物線 B の $x\geqq 0$ の部分と x 軸および y 軸で囲まれる領域の面積を Q とする。 AB がただ1点を共有するとき、 $\dfrac{Q}{P}$ の最大値を求めよ。

考え方

P, Qs, t を使って具体的に計算できます。また、共有点が1点という条件から s, t に関する条件も導けます。これらを用いて $\dfrac{Q}{P}$ を1つの文字で表すことができます。あとは、この増減表をかけば、最大値が求められます。


解答編

問題

 座標平面において2つの放物線 $A: y=s(x-1)^2$ と $B:y=-x^2+t^2$ を考える。ただし、 s, t は実数で、 $0\lt s$, $0\lt t \lt 1$ をみたすとする。放物線 Ax 軸および y 軸で囲まれる領域の面積を P とし、放物線 B の $x\geqq 0$ の部分と x 軸および y 軸で囲まれる領域の面積を Q とする。 AB がただ1点を共有するとき、 $\dfrac{Q}{P}$ の最大値を求めよ。

解答


\begin{eqnarray} P &=& \int_0^1 s(x-1)^2 dx \\[5pt] &=& \int_0^1 s(x^2-2x+1) dx \\[5pt] &=& s\left[ \frac{1}{3}x^3-x^2+x \right]_0^1 \\[5pt] &=& \frac{1}{3}s \end{eqnarray}となる。


\begin{eqnarray} Q &=& \int_0^t (-x^2+t^2) dx \\[5pt] &=& \left[ -\frac{1}{3}x^3 +t^2x \right]_0^t \\[5pt] &=& -\frac{1}{3}t^3 +t^3 \\[5pt] &=& \frac{2}{3}t^3 \\[5pt] \end{eqnarray}となる。

また、2つの放物線 A, B の共有点が1点なので、次の方程式
\begin{eqnarray} s(x-1)^2 &=& -x^2+t^2 \\ (s+1)x^2 -2sx +s-t^2 &=& 0 \end{eqnarray}は重解を持つ。よって、判別式は0となるので \begin{eqnarray} (-2s)^2-4(s+1)(s-t^2) &=& 0 \\ s^2-(s^2-st^2+s-t^2) &=& 0 \\ st^2 -s +t^2 &=& 0 \\ s(t^2-1) &=& -t^2 \\ \end{eqnarray}ここで、 $0\lt t \lt 1$ より $t^2-1\ne 0$ なので \begin{eqnarray} s &=& \frac{t^2}{1-t^2} \end{eqnarray}が成り立つ。 $0\lt t \lt 1$ の範囲で、右辺は正なので $s\gt 0$ はつねに成り立つ。

このとき、
\begin{eqnarray} \frac{Q}{P} &=& \frac{2}{3}t^3 \div \frac{1}{3}s \\[5pt] &=& 2t^3 \times \frac{1-t^2}{t^2} \\[5pt] &=& 2t(1-t^2) \\[5pt] &=& 2t-2t^3 \\[5pt] \end{eqnarray}となる。この式を $f(t)$ とおく。 \begin{eqnarray} f'(t) &=& 2-6t^2 \end{eqnarray}なので、 $f'(t)=0$ とすると $t=\pm\dfrac{\sqrt{3} }{3}$ である。よって、 $0\lt t \lt 1$ の範囲で $f(t)$ の増減表は次のようになる。 \begin{array}{c|ccccc} t & 0 & \cdots & \dfrac{\sqrt{3} }{3} & \cdots & 1 \\ \hline f' & & + & 0 & - & \\ \hline f & & \nearrow & & \searrow & \end{array}ここで、 \begin{eqnarray} f\left(\frac{\sqrt{3} }{3}\right) &=& 2\cdot \frac{\sqrt{3} }{3} -2 \left(\frac{\sqrt{3} }{3}\right)^3 \\[5pt] &=& \frac{2\sqrt{3} }{3} -\frac{2\sqrt{3} }{9} \\[5pt] &=& \frac{4\sqrt{3} }{9} \\[5pt] \end{eqnarray}なので、増減表とこの結果から、求める最大値は $\dfrac{4\sqrt{3} }{9}$ となる。

(終)

解説

P, Q は、積分すれば s, t を使った式で書くことができます。2つの放物線の共有点が1点だけであることから、「判別式が0になる」という条件を使って、 s, t の間に成り立つ関係式を作っています。 s について見ると一次式なので、 s を消すように変形しましょう。

これらから $\dfrac{Q}{P}$ は t を用いた関数で表現できます。微分して増減表をかけば、最大値をどこでとるかがわかり、その値も具体的に計算して求めることができます。

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