共通テスト 数学I・数学A 2026年度追試 第4問 解説
【必答問題】
問題編
問題
各面の目が表1で与えられる三つのサイコロ $\mathrm{x}$, $\mathrm{y}$, $\mathrm{z}$ がある。
表1 サイコロ 各面の目 $\mathrm{x}$ 3, 3, 3, 3, 3, 5 $\mathrm{y}$ 1, 1, 4, 4, 4, 4 $\mathrm{z}$ 2, 2, 3, 3, 6, 6 例えば、サイコロ $\mathrm{x}$ は、五つの面が3の目、一つの面が5の目である。
いずれのサイコロについても、投げたときに各面の目が出る確率は $\dfrac{1}{6}$ であるとする。
サイコロ $\mathrm{x}$, $\mathrm{y}$, $\mathrm{z}$ を投げたとき、出た目をそれぞれ $X$, $Y$, $Z$ とする。大きい目が出やすいのはどのサイコロなのかを、いろいろな観点で調べよう。
(1) $X = Z$ となるのは $X = 3$ かつ $Z = 3$ のときであるから、$X = Z$ となる確率は $\dfrac{\myBox{ア}}{\myBox{イウ}}$ である。
(2) $X$, $Y$, $Z$ の期待値をそれぞれ $E_{\mathrm{x}}$, $E_{\mathrm{y}}$, $E_{\mathrm{z}}$ で表す。この値が大きいサイコロほど大きい目が出やすいと解釈する。
期待値 $E_{\mathrm{x}}$ は、サイコロ $\mathrm{x}$ の目の合計を6で割った値として求めることができ、その値は $\dfrac{\myBox{エオ}}{\myBox{カ}}$ である。
さらに、期待値 $E_{\mathrm{x}}$, $E_{\mathrm{y}}$, $E_{\mathrm{z}}$ が満たす不等式は $\dBox{キ}$ である。
$\dbox{キ}$ の解答群
0: $E_{\mathrm{x}} \lt E_{\mathrm{y}} \lt E_{\mathrm{z}}$ 1: $E_{\mathrm{x}} \lt E_{\mathrm{z}} \lt E_{\mathrm{y}}$
2: $E_{\mathrm{y}} \lt E_{\mathrm{x}} \lt E_{\mathrm{z}}$ 3: $E_{\mathrm{y}} \lt E_{\mathrm{z}} \lt E_{\mathrm{x}}$
4: $E_{\mathrm{z}} \lt E_{\mathrm{x}} \lt E_{\mathrm{y}}$ 5: $E_{\mathrm{z}} \lt E_{\mathrm{y}} \lt E_{\mathrm{x}}$(3) $X \lt Y$ となる確率、$X \gt Y$ となる確率を、それぞれ $P(X \lt Y)$、$P(X \gt Y)$ で表し、$Y \lt Z$ となる確率などについても、同様に表すものとする。
表1（再掲） サイコロ 各面の目 $\mathrm{x}$ 3, 3, 3, 3, 3, 5 $\mathrm{y}$ 1, 1, 4, 4, 4, 4 $\mathrm{z}$ 2, 2, 3, 3, 6, 6 確率をもとにした、次のサイコロ $\mathrm{x}$, $\mathrm{y}$, $\mathrm{z}$ の関係を考える。
サイコロ $\mathrm{x}$, $\mathrm{y}$, $\mathrm{z}$ の関係
・サイコロ $\mathrm{x}$ と $\mathrm{y}$ の関係
$P(X \gt Y)$ が $P(X \lt Y)$ より大きければ、$\mathrm{x} \gg \mathrm{y}$ で表す。
$P(X \gt Y)$ が $P(X \lt Y)$ より小さければ、$\mathrm{x} \ll \mathrm{y}$ で表す。
$P(X \gt Y)$ と $P(X \lt Y)$ が等しければ、$\mathrm{x} \approx \mathrm{y}$ で表す。
・サイコロ $\mathrm{y}$ と $\mathrm{z}$ の関係、サイコロ $\mathrm{z}$ と $\mathrm{x}$ の関係についても、サイコロ $\mathrm{x}$ と $\mathrm{y}$ の関係と同様に定める。例えば、$\mathrm{x} \gg \mathrm{y}$ を「サイコロ $\mathrm{x}$ は、サイコロ $\mathrm{y}$ と比べて大きい目が出やすい」と解釈し、$\mathrm{x} \ll \mathrm{y}$ を「サイコロ $\mathrm{y}$ は、サイコロ $\mathrm{x}$ と比べて大きい目が出やすい」と解釈する。また、$\mathrm{x} \approx \mathrm{y}$ を「サイコロ $\mathrm{x}$ と $\mathrm{y}$ を比べたとき、どちらか一方が大きい目が出やすいとは言えない」と解釈する。
$X \lt Y$ となるのは $X = 3$ かつ $Y = 4$ のときであるから
\[ P(X \lt Y) = \frac{\myBox{ク}}{\myBox{ケ}} \]である。また
\[ P(Y \lt Z) = \frac{\myBox{コ}}{\myBox{サ}} \]であり
\[ P(Z \lt X) = \frac{\myBox{シ}}{\myBox{スセ}} \]である。(1) で求めた確率 $\dfrac{\mybox{ア}}{\mybox{イウ}}$ に注意すると、サイコロ $\mathrm{x}$, $\mathrm{y}$, $\mathrm{z}$ の関係は次のようになる。
\[ \mathrm{x}\ \dBox{ソ}\ \mathrm{y}, \qquad \mathrm{y}\ \dBox{タ}\ \mathrm{z}, \qquad \mathrm{z}\ \dBox{チ}\ \mathrm{x} \]$\dbox{ソ}$ ～ $\dbox{チ}$ の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい。）
0: $\ll$ 1: $\approx$ 2: $\gg$
(4) (2), (3) とは別の観点で、大きい目が出やすいのはどのサイコロなのかを調べる。
表1（再掲） サイコロ 各面の目 $\mathrm{x}$ 3, 3, 3, 3, 3, 5 $\mathrm{y}$ 1, 1, 4, 4, 4, 4 $\mathrm{z}$ 2, 2, 3, 3, 6, 6 三つのサイコロ $\mathrm{x}$, $\mathrm{y}$, $\mathrm{z}$ を袋の中に入れる。袋の中から二つのサイコロを取り出し、同時に投げる。このとき、「サイコロ $\mathrm{x}$ が袋から取り出され、かつ $\mathrm{x}$ の目がもう一つのサイコロの目よりも大きい」という事象の確率を $p_{\mathrm{x}}$ とする。同様に、確率 $p_{\mathrm{y}}$, $p_{\mathrm{z}}$ を定める。この値が大きいサイコロほど大きい目が出やすいと解釈する。
確率 $p_{\mathrm{x}}$ は $\dfrac{\myBox{ツ}}{\myBox{テト}}$ である。さらに、確率 $p_{\mathrm{x}}$, $p_{\mathrm{y}}$, $p_{\mathrm{z}}$ が満たす不等式は $\dBox{ナ}$ である。
$\dbox{ナ}$ の解答群
0: $p_{\mathrm{x}} \lt p_{\mathrm{y}} \lt p_{\mathrm{z}}$ 1: $p_{\mathrm{x}} \lt p_{\mathrm{z}} \lt p_{\mathrm{y}}$
2: $p_{\mathrm{y}} \lt p_{\mathrm{x}} \lt p_{\mathrm{z}}$ 3: $p_{\mathrm{y}} \lt p_{\mathrm{z}} \lt p_{\mathrm{x}}$
4: $p_{\mathrm{z}} \lt p_{\mathrm{x}} \lt p_{\mathrm{y}}$ 5: $p_{\mathrm{z}} \lt p_{\mathrm{y}} \lt p_{\mathrm{x}}$
考え方
大きい目が出やすいのはどのサイコロなのかを、いろいろな観点で調べる問題です。
(2)では期待値で比較しますが、計算方法も書いてくれているので、その通り計算すればいいです。
(3)では、初めて見る関係式が出てきますが、確率を計算して定義通りにあてはめるだけです。(1)の結果も使って、後半は省力化して確率を計算します。
(4)はまた新しい比較方法ですが、ここでも過去の計算結果が使えるので、流用して省力化しましょう。
【必答問題】
解答編
問題
各面の目が表1で与えられる三つのサイコロ $\mathrm{x}$, $\mathrm{y}$, $\mathrm{z}$ がある。
表1 サイコロ 各面の目 $\mathrm{x}$ 3, 3, 3, 3, 3, 5 $\mathrm{y}$ 1, 1, 4, 4, 4, 4 $\mathrm{z}$ 2, 2, 3, 3, 6, 6 例えば、サイコロ $\mathrm{x}$ は、五つの面が3の目、一つの面が5の目である。
いずれのサイコロについても、投げたときに各面の目が出る確率は $\dfrac{1}{6}$ であるとする。
サイコロ $\mathrm{x}$, $\mathrm{y}$, $\mathrm{z}$ を投げたとき、出た目をそれぞれ $X$, $Y$, $Z$ とする。大きい目が出やすいのはどのサイコロなのかを、いろいろな観点で調べよう。
(1) $X = Z$ となるのは $X = 3$ かつ $Z = 3$ のときであるから、$X = Z$ となる確率は $\dfrac{\myBox{ア}}{\myBox{イウ}}$ である。
解説
(1)
$X=Z$ となるのは $X=3$ かつ $Z=3$ のときであり、 $X=3$ となる確率は\[ \frac{5}{6} \]で、 $Z=3$ となる確率は\[ \frac{2}{6}=\frac{1}{3} \]です。なので、 $X=Z$ となる確率は\[ \frac{5}{6}\cdot\frac{1}{3}=\frac{5}{18} \]となります。
解答
アイウ：518（2点）
解答編 つづき
問題
(2) $X$, $Y$, $Z$ の期待値をそれぞれ $E_{\mathrm{x}}$, $E_{\mathrm{y}}$, $E_{\mathrm{z}}$ で表す。この値が大きいサイコロほど大きい目が出やすいと解釈する。
期待値 $E_{\mathrm{x}}$ は、サイコロ $\mathrm{x}$ の目の合計を6で割った値として求めることができ、その値は $\dfrac{\myBox{エオ}}{\myBox{カ}}$ である。
さらに、期待値 $E_{\mathrm{x}}$, $E_{\mathrm{y}}$, $E_{\mathrm{z}}$ が満たす不等式は $\dBox{キ}$ である。
$\dbox{キ}$ の解答群
0: $E_{\mathrm{x}} \lt E_{\mathrm{y}} \lt E_{\mathrm{z}}$ 1: $E_{\mathrm{x}} \lt E_{\mathrm{z}} \lt E_{\mathrm{y}}$
2: $E_{\mathrm{y}} \lt E_{\mathrm{x}} \lt E_{\mathrm{z}}$ 3: $E_{\mathrm{y}} \lt E_{\mathrm{z}} \lt E_{\mathrm{x}}$
4: $E_{\mathrm{z}} \lt E_{\mathrm{x}} \lt E_{\mathrm{y}}$ 5: $E_{\mathrm{z}} \lt E_{\mathrm{y}} \lt E_{\mathrm{x}}$
解説
(2)
出る目の期待値は、「目の値 × その目が出る確率」の合計で計算できますが、それぞれの目が出る確率が $\frac{1}{6}$ なので、目の値を合計してから $6$ で割って求めることもできます。そのため、\[ E_{\mathrm{x}}=\frac{3+3+3+3+3+5}{6}=\frac{20}{6}=\frac{10}{3} \]となります。
同様にして
\begin{eqnarray}
E_{\mathrm{y}} &=& \frac{1+1+4+4+4+4}{6}=\frac{18}{6}=3 \\[5pt]
E_{\mathrm{z}} &=& \frac{2+2+3+3+6+6}{6}=\frac{22}{6}=\frac{11}{3}
\end{eqnarray}だから、\[ E_{\mathrm{y}} \lt E_{\mathrm{x}} \lt E_{\mathrm{z}} \]となることがわかります。
解答
エオカ：103（2点）
キ：2（2点）
解答編 つづき
問題
(3) $X \lt Y$ となる確率、$X \gt Y$ となる確率を、それぞれ $P(X \lt Y)$、$P(X \gt Y)$ で表し、$Y \lt Z$ となる確率などについても、同様に表すものとする。
表1（再掲） サイコロ 各面の目 $\mathrm{x}$ 3, 3, 3, 3, 3, 5 $\mathrm{y}$ 1, 1, 4, 4, 4, 4 $\mathrm{z}$ 2, 2, 3, 3, 6, 6 確率をもとにした、次のサイコロ $\mathrm{x}$, $\mathrm{y}$, $\mathrm{z}$ の関係を考える。
サイコロ $\mathrm{x}$, $\mathrm{y}$, $\mathrm{z}$ の関係
・サイコロ $\mathrm{x}$ と $\mathrm{y}$ の関係
$P(X \gt Y)$ が $P(X \lt Y)$ より大きければ、$\mathrm{x} \gg \mathrm{y}$ で表す。
$P(X \gt Y)$ が $P(X \lt Y)$ より小さければ、$\mathrm{x} \ll \mathrm{y}$ で表す。
$P(X \gt Y)$ と $P(X \lt Y)$ が等しければ、$\mathrm{x} \approx \mathrm{y}$ で表す。
・サイコロ $\mathrm{y}$ と $\mathrm{z}$ の関係、サイコロ $\mathrm{z}$ と $\mathrm{x}$ の関係についても、サイコロ $\mathrm{x}$ と $\mathrm{y}$ の関係と同様に定める。例えば、$\mathrm{x} \gg \mathrm{y}$ を「サイコロ $\mathrm{x}$ は、サイコロ $\mathrm{y}$ と比べて大きい目が出やすい」と解釈し、$\mathrm{x} \ll \mathrm{y}$ を「サイコロ $\mathrm{y}$ は、サイコロ $\mathrm{x}$ と比べて大きい目が出やすい」と解釈する。また、$\mathrm{x} \approx \mathrm{y}$ を「サイコロ $\mathrm{x}$ と $\mathrm{y}$ を比べたとき、どちらか一方が大きい目が出やすいとは言えない」と解釈する。
$X \lt Y$ となるのは $X = 3$ かつ $Y = 4$ のときであるから
\[ P(X \lt Y) = \frac{\myBox{ク}}{\myBox{ケ}} \]である。また
\[ P(Y \lt Z) = \frac{\myBox{コ}}{\myBox{サ}} \]であり
\[ P(Z \lt X) = \frac{\myBox{シ}}{\myBox{スセ}} \]である。
解説
(3)
$X\lt Y$ となるのは、 $X=3$ かつ $Y=4$ のときなので
\begin{eqnarray}
P(X \lt Y) &=& \frac{5}{6}\cdot\frac{4}{6}=\frac{5}{9}
\end{eqnarray}となります。
$Y\lt Z$ となるのは、 $Y=1$ のとき、または、 $Y=4$ かつ $Z=6$ のときなので
\begin{eqnarray}
P(Y \lt Z) &=& \frac{2}{6}+\frac{4}{6}\cdot\frac{2}{6}=\frac{5}{9}
\end{eqnarray}となります。
$Z\lt X$ となるのは、 $Z=2$ のとき、または、 $Z=3$ かつ $X=5$ のときなので
\begin{eqnarray}
P(Z \lt X) &=& \frac{2}{6}+\frac{2}{6}\cdot\frac{1}{6}=\frac{7}{18}
\end{eqnarray}となります。
解答
クケ：59（2点）
コサシスセ：59718（3点）
解答編 つづき
問題
(1) で求めた確率 $\dfrac{\mybox{ア}}{\mybox{イウ}}$ に注意すると、サイコロ $\mathrm{x}$, $\mathrm{y}$, $\mathrm{z}$ の関係は次のようになる。
\[ \mathrm{x}\ \dBox{ソ}\ \mathrm{y}, \qquad \mathrm{y}\ \dBox{タ}\ \mathrm{z}, \qquad \mathrm{z}\ \dBox{チ}\ \mathrm{x} \]$\dbox{ソ}$ ～ $\dbox{チ}$ の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい。）
0: $\ll$ 1: $\approx$ 2: $\gg$
解説
$X,Y,Z$ の中で値が等しくなる時は、 $X=Z$ のときしかありません。なので
\begin{eqnarray}
P(X\gt Y) &=& 1-P(X\lt Y) = \frac{4}{9} \\[5pt]
P(Y\gt Z) &=& 1-P(Y\lt Z) = \frac{4}{9} \\[5pt]
P(Z\gt X) &=& 1-P(Z\lt X)-P(Z=X) \\[5pt]
&=& 1-\frac{7}{18}-\frac{5}{18} = \frac{1}{3} \\[5pt]
\end{eqnarray}となります。
こうして
\begin{eqnarray}
P(X\gt Y)=\frac{4}{9} \lt \frac{5}{9}=P(X\lt Y) \\[5pt]
P(Y\gt Z)=\frac{4}{9} \lt \frac{5}{9}=P(Y\lt Z) \\[5pt]
P(Z\gt X)=\frac{1}{3} \lt \frac{7}{18}=P(Z\lt X) \\[5pt]
\end{eqnarray}となることがわかるので、\[ \mathrm{x}\ \ll\ \mathrm{y}, \qquad \mathrm{y}\ \ll\ \mathrm{z}, \qquad \mathrm{z}\ \ll\ \mathrm{x} \]となることがわかります。
解答
ソタチ：000（3点）
解答編 つづき
問題
(4) (2), (3) とは別の観点で、大きい目が出やすいのはどのサイコロなのかを調べる。
表1（再掲） サイコロ 各面の目 $\mathrm{x}$ 3, 3, 3, 3, 3, 5 $\mathrm{y}$ 1, 1, 4, 4, 4, 4 $\mathrm{z}$ 2, 2, 3, 3, 6, 6 三つのサイコロ $\mathrm{x}$, $\mathrm{y}$, $\mathrm{z}$ を袋の中に入れる。袋の中から二つのサイコロを取り出し、同時に投げる。このとき、「サイコロ $\mathrm{x}$ が袋から取り出され、かつ $\mathrm{x}$ の目がもう一つのサイコロの目よりも大きい」という事象の確率を $p_{\mathrm{x}}$ とする。同様に、確率 $p_{\mathrm{y}}$, $p_{\mathrm{z}}$ を定める。この値が大きいサイコロほど大きい目が出やすいと解釈する。
確率 $p_{\mathrm{x}}$ は $\dfrac{\myBox{ツ}}{\myBox{テト}}$ である。さらに、確率 $p_{\mathrm{x}}$, $p_{\mathrm{y}}$, $p_{\mathrm{z}}$ が満たす不等式は $\dBox{ナ}$ である。
$\dbox{ナ}$ の解答群
0: $p_{\mathrm{x}} \lt p_{\mathrm{y}} \lt p_{\mathrm{z}}$ 1: $p_{\mathrm{x}} \lt p_{\mathrm{z}} \lt p_{\mathrm{y}}$
2: $p_{\mathrm{y}} \lt p_{\mathrm{x}} \lt p_{\mathrm{z}}$ 3: $p_{\mathrm{y}} \lt p_{\mathrm{z}} \lt p_{\mathrm{x}}$
4: $p_{\mathrm{z}} \lt p_{\mathrm{x}} \lt p_{\mathrm{y}}$ 5: $p_{\mathrm{z}} \lt p_{\mathrm{y}} \lt p_{\mathrm{x}}$
解説
(4)
$p_{\mathrm{x}}$ は、「サイコロ $\mathrm{x,y}$ が袋から取り出され、 $\mathrm{x}$ の目が $\mathrm{y}$ の目よりも大きい」確率と、「サイコロ $\mathrm{x,z}$ が袋から取り出され、 $\mathrm{x}$ の目が $\mathrm{z}$ の目よりも大きい」確率との和で求められます。3つのサイコロから2つのサイコロを選ぶ方法は 3通りなので
\begin{eqnarray}
p_{\mathrm{x}} &=& \frac{1}{3} P(X\gt Y)+\frac{1}{3} P(Z\lt X) \\[5pt]
&=& \frac{1}{3} \left(\frac{4}{9}+\frac{7}{18}\right) \\[5pt]
&=& \frac{5}{18} \\[5pt]
\end{eqnarray}と求められます。
同様にして
\begin{eqnarray}
p_{\mathrm{y}} &=& \frac{1}{3} P(Y\gt Z)+\frac{1}{3} P(X\lt Y) \\[5pt]
&=& \frac{1}{3} \left(\frac{4}{9}+\frac{5}{9}\right) \\[5pt]
&=& \frac{1}{3} \\[5pt]
\end{eqnarray}となり、
\begin{eqnarray}
p_{\mathrm{z}} &=& \frac{1}{3} P(Z\gt X)+\frac{1}{3} P(Y\lt Z) \\[5pt]
&=& \frac{1}{3} \left(\frac{1}{3}+\frac{5}{9}\right) \\[5pt]
&=& \frac{8}{27} \\[5pt]
\end{eqnarray}と求められます。
\[ \frac{5}{18}=\frac{15}{54},\ \frac{1}{3}=\frac{18}{54},\ \frac{8}{27}=\frac{16}{54} \]なので、\[ p_{\mathrm{x}} \lt p_{\mathrm{z}} \lt p_{\mathrm{y}} \]となることがわかります。
解答
ツテト：518（3点）
ナ：1（3点）
