共通テスト 数学I・数学A 2026年度追試 第1問 [1] 解説
【必答問題】
問題編
問題
$k$、$n$ は $n\gt k^2$ を満たす自然数とする。次の実数
\[ \frac{1}{\sqrt{n}-k} \quad \cdots \text{①} \]を考え、その整数部分を $a$ で表す。(1) $k=1$、$n=3$ の場合を考えよう。
このとき、①の分母を有理化すると
\[ \frac{1}{\sqrt{3}-1} = \frac{\sqrt{\myBox{ア}}+\myBox{イ}}{\myBox{ウ}} \]となる。したがって、$a=\myBox{エ}$ である。(2) $n=k^2+1$ の場合を考えよう。
このとき、①は $\dfrac{1}{\sqrt{k^2+1}-k}$ となる。この分母を有理化して、$k^2$、$k^2+1$、$(k+1)^2$ の大小を考えると、$a=\dBox{オ}$ であることがわかる。$\dbox{オ}$ の解答群
0: $k$
1: $k+1$
2: $k+2$
3: $2k$
4: $2k+1$
5: $k+\sqrt{k^2+1}$
6: $k^2+1$
7: $k^2-k+2$
8: $k^2-3k+6$(3) ①の整数部分 $a$ の値について、$a\geqq k$ となる $n$ の個数を求めよう。
$k$ が自然数であることを考慮すると、$a\geqq k$ であるための必要十分条件は
\[ \frac{1}{\sqrt{n}-k} \ \dBox{カ} \ k \quad \cdots \text{②} \]である。②の両辺の逆数をとると
\[ \sqrt{n}-k \ \dBox{キ} \ \frac{1}{k} \quad \cdots \text{③} \]となる。③であるための必要十分条件を、自然数 $m$ を用いて
\[ n \ \dbox{キ} \ k^2+m+\frac{1}{k^2} \]と表すと、$m=\myBox{ク}$ である。したがって、$n\gt k^2$ に注意すると、次のことがわかる。
・$k=1$ に対して、$a\geqq k$ となる $n$ の個数は $\myBox{ケ}$ 個である。
・$2$ 以上の $k$ に対して、$a\geqq k$ となる $n$ の個数は $\dBox{コ}$ 個である。
$\dbox{カ}$、$\dbox{キ}$ の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい。）
0: $\leqq$
1: $=$
2: $\geqq$$\dbox{コ}$ の解答群
0: $0$
1: $1$
2: $2$
3: $3$
4: $k$
5: $|k-4|$
6: $(k^2+2)$
7: $(k^2-5k+8)$
考え方
整数部分を考える問題です。問題が進むごとに抽象的になっていくので、わかりにくい場合は前の問題でどういう考え方・計算をしたかを踏まえると解きやすくなります。
【必答問題】
解答編
問題
$k$、$n$ は $n>k^2$ を満たす自然数とする。次の実数
\[ \frac{1}{\sqrt{n}-k} \quad \cdots \text{①} \]
を考え、その整数部分を $a$ で表す。(1) $k=1$、$n=3$ の場合を考えよう。このとき、①の分母を有理化すると
\[ \frac{1}{\sqrt{3}-1} = \frac{\sqrt{\myBox{ア}}+\myBox{イ}}{\myBox{ウ}} \]
となる。したがって、$a=\myBox{エ}$ である。
解説
(1)
\begin{eqnarray}
\dfrac{1}{\sqrt{3}-1}
&=&
\dfrac{\sqrt{3}+1}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} \\[5pt]
&=&
\dfrac{\sqrt{3}+1}{2} \\[5pt]
\end{eqnarray}となります。
$1\lt \sqrt{3} \lt 2$ なので
\begin{eqnarray}
& & \dfrac{1+1}{2} \lt \dfrac{\sqrt{3}+1}{2} \lt \dfrac{2+1}{2} \\[5pt]
& & 1 \lt \dfrac{\sqrt{3}+1}{2} \lt 1.5 \\[5pt]
\end{eqnarray}だから、整数部分は $1$ だとわかります。
解答
アイウエ：3121（3点）
解答編 つづき
問題
(2) $n=k^2+1$ の場合を考えよう。
このとき、①は $\dfrac{1}{\sqrt{k^2+1}-k}$ となる。この分母を有理化して、$k^2$、$k^2+1$、$(k+1)^2$ の大小を考えると、$a=\dBox{オ}$ であることがわかる。$\dbox{オ}$ の解答群
0: $k$
1: $k+1$
2: $k+2$
3: $2k$
4: $2k+1$
5: $k+\sqrt{k^2+1}$
6: $k^2+1$
7: $k^2-k+2$
8: $k^2-3k+6$
解説
(2)
\begin{eqnarray}
\frac{1}{\sqrt{k^2+1}-k}
&=&
\frac{\sqrt{k^2+1}+k}{(\sqrt{k^2+1}-k)(\sqrt{k^2+1}+k)} \\[5pt]
&=&
\frac{\sqrt{k^2+1}+k}{(k^2+1)-k^2} \\[5pt]
&=&
\sqrt{k^2+1}+k \\[5pt]
\end{eqnarray}となります。
ここで、 $k^2\leqq k^2+1$ であり、 $k^2+1\leqq k^2+2k+1 =(k+1)^2$ だから
\begin{eqnarray}
& & \sqrt{k^2}+k \lt \sqrt{k^2+1}+k \lt \sqrt{(k+1)^2}+k \\[5pt]
& & k+k \lt \sqrt{k^2+1}+k \lt k+1+k \\[5pt]
& & 2k \lt \sqrt{k^2+1}+k \lt 2k+1 \\[5pt]
\end{eqnarray}なので、整数部分は $2k$ となります。選択肢の中では、3が答えです。
解答
オ：3（3点）
解答編 つづき
問題
(3) ①の整数部分 $a$ の値について、$a\geqq k$ となる $n$ の個数を求めよう。
$k$ が自然数であることを考慮すると、$a\geqq k$ であるための必要十分条件は
\[ \frac{1}{\sqrt{n}-k} \ \dBox{カ} \ k \quad \cdots \text{②} \]である。②の両辺の逆数をとると
\[ \sqrt{n}-k \ \dBox{キ} \ \frac{1}{k} \quad \cdots \text{③} \]となる。③であるための必要十分条件を、自然数 $m$ を用いて
\[ n \ \dbox{キ} \ k^2+m+\frac{1}{k^2} \]と表すと、$m=\myBox{ク}$ である。したがって、$n\gt k^2$ に注意すると、次のことがわかる。
・$k=1$ に対して、$a\geqq k$ となる $n$ の個数は $\myBox{ケ}$ 個である。
・$2$ 以上の $k$ に対して、$a\geqq k$ となる $n$ の個数は $\dBox{コ}$ 個である。
$\dbox{カ}$、$\dbox{キ}$ の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい。）
0: $\leqq$
1: $=$
2: $\geqq$$\dbox{コ}$ の解答群
0: $0$
1: $1$
2: $2$
3: $3$
4: $k$
5: $|k-4|$
6: $(k^2+2)$
7: $(k^2-5k+8)$
解説
(3)
$a$ とは $\dfrac{1}{\sqrt{n}-k}$ の整数部分のことでした。この分数が $k$ より小さいと、整数部分ももちろん $k$ より小さくなってしまいます。逆に、この分数が $k$ 以上なら、整数部分は $k$ 以上になります。なので、$a\geqq k$ と\[ \dfrac{1}{\sqrt{n}-k}\geqq k \]が同値となります。このとき、左辺の分母は正なので、逆数を考えると\[ \sqrt{n}-k\leqq \frac{1}{k} \]となります。左辺の $k$ を右辺に移項すると、両辺は正だから
\begin{eqnarray}
n \leqq \left(k+\frac{1}{k}\right)^2=k^2+2+\frac{1}{k^2}
\end{eqnarray}と同値であることがわかります。なので、 $m=2$ です。
もともとあった条件 $n\ge k^2$ と合わせると、\[ k^2 \lt n \leqq k^2+2+\frac{1}{k^2} \]を満たす自然数 $n$ の個数を答えればいいです。 $k=1$ のときは\[ 1 \lt n \leqq 1+2+\frac{1}{1}=4 \]なので、 $n=2,3,4$ の3個だとわかります。一方、 $k\geqq 2$ のときは $\dfrac{1}{k^2}$ が $1$ より小さな正の値だから、 $n=k^2+1,k^2+2$ の2個だけが該当することがわかります。
解答
カキク：202（2点）
ケコ：32（2点）
