共通テスト 数学I・数学A 2026年度追試 第3問 解説

【必答問題】

問題編

問題

　三角形の重心や外心について考察しよう。以下の問題において比を解答する場合は、最も簡単な整数の比で答えよ。

(1) $\triangle \mathrm{ABC}$ に対し、点 $\mathrm{A}$ を通り直線 $\mathrm{BC}$ と垂直に交わる直線を $\ell_0$、点 $\mathrm{A}$ と辺 $\mathrm{BC}$ の中点を結ぶ直線を $\ell_1$、$\angle \mathrm{A}$ を二等分する直線を $\ell_2$、辺 $\mathrm{BC}$ の垂直二等分線を $\ell_3$ とする。このとき、重心は直線 $\dBox{ア}$ 上にあり、外心は直線 $\dBox{イ}$ 上にある。また、$\triangle \mathrm{ABC}$ が $\mathrm{AB} = \mathrm{AC}$ となる二等辺三角形のとき、三つの直線 $\ell_1$、$\ell_2$、$\ell_3$ のうち直線 $\ell_0$ と一致する直線は $\dBox{ウ}$。

　$\dbox{ア}$、$\dbox{イ}$ の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい。）

　0: $\ell_0$　　1: $\ell_1$　　2: $\ell_2$　　3: $\ell_3$

　$\dbox{ウ}$ の解答群

　0: ない
　1: $\ell_1$ のみである
　2: $\ell_2$ のみである
　3: $\ell_3$ のみである
　4: $\ell_1$ と $\ell_2$ のみである
　5: $\ell_1$ と $\ell_3$ のみである
　6: $\ell_2$ と $\ell_3$ のみである
　7: $\ell_1$ と $\ell_2$ と $\ell_3$ のすべてである

(2) 点 $\mathrm{O}$ を中心とする円 $\mathrm{O}$ があり、その内部に点 $\mathrm{O}$ とは異なる点 $\mathrm{M}$ をとる。このとき、円 $\mathrm{O}$ の弦のうち、その中点が $\mathrm{M}$ となるものがいくつあるかについて考えよう。

　2点 $\mathrm{S}$、$\mathrm{T}$ を円 $\mathrm{O}$ の周上の点とし、弦 $\mathrm{ST}$ の中点が $\mathrm{M}$ であるとする。弦 $\mathrm{ST}$ が点 $\mathrm{O}$ を通るとすると点 $\mathrm{M}$ と点 $\mathrm{O}$ が一致するので、点 $\mathrm{M}$ が点 $\mathrm{O}$ と異なる点であることに矛盾する。したがって、3点 $\mathrm{O}$、$\mathrm{S}$、$\mathrm{T}$ は同一直線上にないことがわかる。このとき、$\triangle \mathrm{OST}$ は二等辺三角形となり、$\angle \mathrm{OMS} = \myBox{エオ}^\circ$ となる。

　以上のことに注意すると、中点が $\mathrm{M}$ となるような円 $\mathrm{O}$ の弦は $\dBox{カ}$ ことがわかる。

　$\dbox{カ}$ の解答群

　0: 一つもない
　1: ちょうど一つある
　2: ちょうど二つある
　3: 三つ以上ある

(3) 点 $\mathrm{O}$ を中心とする半径 $6$ の円 $\mathrm{O}$ がある。図1のように、円 $\mathrm{O}$ の周上に $\angle \mathrm{AOB} = 60^\circ$ となるように2点 $\mathrm{A}$、$\mathrm{B}$ をとる。線分 $\mathrm{AB}$ の垂直二等分線と円 $\mathrm{O}$ の交点のうち、直線 $\mathrm{AB}$ に関して点 $\mathrm{O}$ と同じ側にある点を $\mathrm{C}$ とする。また、線分 $\mathrm{AB}$ の中点を $\mathrm{D}$ とし、$\triangle \mathrm{ABC}$ の重心を $\mathrm{G}$ とする。

　円 $\mathrm{O}$ に内接する三角形の外心は、つねに $\triangle \mathrm{ABC}$ の外心と一致する。ここでは、円 $\mathrm{O}$ に内接し、重心も $\triangle \mathrm{ABC}$ の重心と一致する三角形が、$\triangle \mathrm{ABC}$ 以外にいくつあるかについて考察しよう。

(i) $\mathrm{CG}:\mathrm{GD} = \myBox{キ}:\myBox{ク}$ より
\[ \mathrm{CG} = \myBox{ケ} + \myBox{コ}\sqrt{\myBox{サ}} \]
となる。

(ii) 点 $\mathrm{P}$ を円 $\mathrm{O}$ の周上の点で $\mathrm{A}$、$\mathrm{B}$、$\mathrm{C}$ とは異なる点とする。このとき、次の条件を満たす三角形について考えよう。

条件
点 $\mathrm{P}$ を一つの頂点とし、円 $\mathrm{O}$ に内接し、重心が $\mathrm{G}$ と一致する。

　点 $\mathrm{M}$ を直線 $\mathrm{PG}$ 上の点で、$\mathrm{PG}:\mathrm{GM} = \mybox{キ}:\mybox{ク}$ を満たし、点 $\mathrm{G}$ に関して点 $\mathrm{P}$ の反対側にある点とする。このとき、$\mathrm{PG} \lt \mathrm{CG}$ であることに注意すると、点 $\mathrm{M}$ は円 $\mathrm{O}$ の内部にあることがわかる。

　点 $\mathrm{M}$ に着目して、(2)を振り返ると、条件を満たす三角形についての記述として、次の0〜3のうち、正しいものは $\dBox{シ}$ であることがわかる。

　$\dbox{シ}$ の解答群

　0: 点 $\mathrm{P}$ をどこにとっても、条件を満たす三角形は一つもない。
　1: 点 $\mathrm{P}$ をどこにとっても、条件を満たす三角形はちょうど一つある。
　2: 点 $\mathrm{P}$ をどこにとっても、条件を満たす三角形はちょうど二つある。
　3: 点 $\mathrm{P}$ のとり方によって、条件を満たす三角形の個数が変わる。

(4) 同じ円に内接する二つの三角形が一つの頂点を共有するとき、それぞれの重心が一致することがあるかどうかを考察しよう。

　同一円周上に異なる5点 $\mathrm{A}$、$\mathrm{P}$、$\mathrm{Q}$、$\mathrm{P}'$、$\mathrm{Q}'$ があり、$\triangle \mathrm{APQ}$ の重心を $\mathrm{G}$、$\triangle \mathrm{AP'Q'}$ の重心を $\mathrm{G}'$ とする。このとき、次の命題(a)、(b)、(c)の真偽の組合せとして正しいものは $\dBox{ス}$ である。

(a) $\angle \mathrm{PAQ}$ が鋭角であるとき、$\mathrm{G}$ と $\mathrm{G}'$ が一致することがある。
(b) $\angle \mathrm{PAQ}$ が直角であるとき、$\mathrm{G}$ と $\mathrm{G}'$ が一致することがある。
(c) $\angle \mathrm{PAQ}$ が鈍角であるとき、$\mathrm{G}$ と $\mathrm{G}'$ が一致することがある。

　$\dbox{ス}$ の解答群

	0	1	2	3	4	5	6	7
(a)	真	真	真	真	偽	偽	偽	偽
(b)	真	真	偽	偽	真	真	偽	偽
(c)	真	偽	真	偽	真	偽	真	偽

考え方

三角形の重心・外心の性質から始まり、円の弦の性質を活用して、円に内接する三角形の重心の一致条件を考察する問題です。

(3)(ii)では、(2)の結論を流用することがポイントです。問題文では同じ $\mathrm{M}$ を使っているので、どのように適用すればいいかはわかりやすいでしょう。

(4)は考えづらいですが、(2)を用いて、条件を満たす三角形を作るにはどうしたらいいか、を考えるようにしましょう。

【必答問題】

解答編

問題

　三角形の重心や外心について考察しよう。以下の問題において比を解答する場合は、最も簡単な整数の比で答えよ。

(1) $\triangle \mathrm{ABC}$ に対し、点 $\mathrm{A}$ を通り直線 $\mathrm{BC}$ と垂直に交わる直線を $\ell_0$、点 $\mathrm{A}$ と辺 $\mathrm{BC}$ の中点を結ぶ直線を $\ell_1$、$\angle \mathrm{A}$ を二等分する直線を $\ell_2$、辺 $\mathrm{BC}$ の垂直二等分線を $\ell_3$ とする。このとき、重心は直線 $\dBox{ア}$ 上にあり、外心は直線 $\dBox{イ}$ 上にある。また、$\triangle \mathrm{ABC}$ が $\mathrm{AB} = \mathrm{AC}$ となる二等辺三角形のとき、三つの直線 $\ell_1$、$\ell_2$、$\ell_3$ のうち直線 $\ell_0$ と一致する直線は $\dBox{ウ}$。

　$\dbox{ア}$、$\dbox{イ}$ の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい。）

　0: $\ell_0$　　1: $\ell_1$　　2: $\ell_2$　　3: $\ell_3$

　$\dbox{ウ}$ の解答群

　0: ない
　1: $\ell_1$ のみである
　2: $\ell_2$ のみである
　3: $\ell_3$ のみである
　4: $\ell_1$ と $\ell_2$ のみである
　5: $\ell_1$ と $\ell_3$ のみである
　6: $\ell_2$ と $\ell_3$ のみである
　7: $\ell_1$ と $\ell_2$ と $\ell_3$ のすべてである

解説

(1)
重心は中線の上にあるので、 $\ell_1$ の上にあります。

外心は、各頂点からの距離が等しい点なので、 $\ell_3$ の上にあります。

$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$ のときは、$\triangle\mathrm{ABC}$ は二等辺三角形となります。 $\mathrm{A}$ から $\mathrm{BC}$ におろした垂線の足を $\mathrm{D}$ とすると、 $\triangle\mathrm{ABD}\equiv\triangle\mathrm{ACD}$ となります（直角三角形で斜辺と他の一辺がそれぞれ等しい）。

なので、 $\mathrm{BD}=\mathrm{CD}$ が成り立ち、 $\angle\mathrm{BAD}=\angle\mathrm{CAD}$ が成り立ちます。よって、 $\mathrm{AD}$ は辺 $\mathrm{BC}$ を垂直に二等分する直線であることもわかるので、 $\ell_1, \ell_2, \ell_3$ はすべて $\ell_0$ と一致することがわかります。

解答

アイ：13（3点）
ウ：7（3点）

解答編　つづき

問題

(2) 点 $\mathrm{O}$ を中心とする円 $\mathrm{O}$ があり、その内部に点 $\mathrm{O}$ とは異なる点 $\mathrm{M}$ をとる。このとき、円 $\mathrm{O}$ の弦のうち、その中点が $\mathrm{M}$ となるものがいくつあるかについて考えよう。

　2点 $\mathrm{S}$、$\mathrm{T}$ を円 $\mathrm{O}$ の周上の点とし、弦 $\mathrm{ST}$ の中点が $\mathrm{M}$ であるとする。弦 $\mathrm{ST}$ が点 $\mathrm{O}$ を通るとすると点 $\mathrm{M}$ と点 $\mathrm{O}$ が一致するので、点 $\mathrm{M}$ が点 $\mathrm{O}$ と異なる点であることに矛盾する。したがって、3点 $\mathrm{O}$、$\mathrm{S}$、$\mathrm{T}$ は同一直線上にないことがわかる。このとき、$\triangle \mathrm{OST}$ は二等辺三角形となり、$\angle \mathrm{OMS} = \myBox{エオ}^\circ$ となる。

　以上のことに注意すると、中点が $\mathrm{M}$ となるような円 $\mathrm{O}$ の弦は $\dBox{カ}$ ことがわかる。

　$\dbox{カ}$ の解答群

　0: 一つもない
　1: ちょうど一つある
　2: ちょうど二つある
　3: 三つ以上ある

解説

(2)
$\mathrm{ST}$ が弦なら、 $\mathrm{OS,OT}$ はともに半径なので、問題文にある通り、 $\triangle\mathrm{OST}$ は二等辺三角形になります。 $\mathrm{M}$ は辺 $\mathrm{ST}$ の中点なので、 $\angle\mathrm{OMS}=90^{\circ}$ となります。

$\mathrm{M}$ を通り $\mathrm{OM}$ に垂直な線は1本しか引けず、それは必ず円と2点で交わるので、必ず弦が1つだけあることがわかります。

なので、中点が $\mathrm{M}$ となるような円 $\mathrm{O}$ の弦は、ちょうど一つあることがわかります。

解答

エオカ：901（3点）

解答編　つづき

問題

(3) 点 $\mathrm{O}$ を中心とする半径 $6$ の円 $\mathrm{O}$ がある。図1のように、円 $\mathrm{O}$ の周上に $\angle \mathrm{AOB} = 60^\circ$ となるように2点 $\mathrm{A}$、$\mathrm{B}$ をとる。線分 $\mathrm{AB}$ の垂直二等分線と円 $\mathrm{O}$ の交点のうち、直線 $\mathrm{AB}$ に関して点 $\mathrm{O}$ と同じ側にある点を $\mathrm{C}$ とする。また、線分 $\mathrm{AB}$ の中点を $\mathrm{D}$ とし、$\triangle \mathrm{ABC}$ の重心を $\mathrm{G}$ とする。

　円 $\mathrm{O}$ に内接する三角形の外心は、つねに $\triangle \mathrm{ABC}$ の外心と一致する。ここでは、円 $\mathrm{O}$ に内接し、重心も $\triangle \mathrm{ABC}$ の重心と一致する三角形が、$\triangle \mathrm{ABC}$ 以外にいくつあるかについて考察しよう。

(i) $\mathrm{CG}:\mathrm{GD} = \myBox{キ}:\myBox{ク}$ より
\[ \mathrm{CG} = \myBox{ケ} + \myBox{コ}\sqrt{\myBox{サ}} \]
となる。

解説

(3)(i)
$\mathrm{G}$ は $\triangle\mathrm{ABC}$ の重心だから、\[ \mathrm{CG:GD}=2:1 \]となります。

三角形 $\mathrm{OAB}$ は正三角形で、 $\mathrm{AB}=6$ なので、 $\mathrm{OD}=3\sqrt{3}$ となります。これより、\[ \mathrm{CD}=\mathrm{CO}+\mathrm{OD}=6+3\sqrt{3} \]なので、\[ \mathrm{CG}=\frac{2}{3}\mathrm{CD}=4+2\sqrt{3} \]と求められます。

解答

キク：21（2点）
ケコサ：423（2点）

解答編　つづき

問題

(ii) 点 $\mathrm{P}$ を円 $\mathrm{O}$ の周上の点で $\mathrm{A}$、$\mathrm{B}$、$\mathrm{C}$ とは異なる点とする。このとき、次の条件を満たす三角形について考えよう。

条件
点 $\mathrm{P}$ を一つの頂点とし、円 $\mathrm{O}$ に内接し、重心が $\mathrm{G}$ と一致する。

　点 $\mathrm{M}$ を直線 $\mathrm{PG}$ 上の点で、$\mathrm{PG}:\mathrm{GM} = \mybox{キ}:\mybox{ク}$ を満たし、点 $\mathrm{G}$ に関して点 $\mathrm{P}$ の反対側にある点とする。このとき、$\mathrm{PG} \lt \mathrm{CG}$ であることに注意すると、点 $\mathrm{M}$ は円 $\mathrm{O}$ の内部にあることがわかる。

　点 $\mathrm{M}$ に着目して、(2)を振り返ると、条件を満たす三角形についての記述として、次の0〜3のうち、正しいものは $\dBox{シ}$ であることがわかる。

　$\dbox{シ}$ の解答群

　0: 点 $\mathrm{P}$ をどこにとっても、条件を満たす三角形は一つもない。
　1: 点 $\mathrm{P}$ をどこにとっても、条件を満たす三角形はちょうど一つある。
　2: 点 $\mathrm{P}$ をどこにとっても、条件を満たす三角形はちょうど二つある。
　3: 点 $\mathrm{P}$ のとり方によって、条件を満たす三角形の個数が変わる。

解説

(3)(ii)
問題文にある通り、 $\mathrm{G}$ を追加し、点 $\mathrm{P}$ を頂点とする三角形で条件を満たすものを考えてみます。

まず、問題文にある「点 $\mathrm{M}$ は円 $\mathrm{O}$ の内部にある」ことを確かめておきます。

重心が $\mathrm{G}$ になるなら、弦の中点 $\mathrm{M}$ は $\mathrm{PG:GM}=2:1$ を満たすはずです。三角不等式を使えば\[ \mathrm{PG}\lt\mathrm{GO}+\mathrm{OP}=\mathrm{GO}+\mathrm{OC}=\mathrm{CG} \]であり、 $\mathrm{GM,GD}$ がそれぞれ $\mathrm{PG,CG}$ の半分であることから、 $\mathrm{GM}\lt\mathrm{GD}$ なので、再び三角不等式から
\begin{eqnarray} \mathrm{OM} & \lt & \mathrm{OG}+\mathrm{GM} \\[5pt] & \lt & \mathrm{OG}+\mathrm{GD} \\[5pt] & = & \mathrm{OD} \\[5pt] & \lt & 6 \\[5pt] \end{eqnarray}となります。こうして、たしかに $\mathrm{M}$ は円 $\mathrm{O}$ 内にあることがわかります。

(2)より、 $\mathrm{M}$ が弦の中点となるには、 $\mathrm{M}$ を通り $\mathrm{OM}$ に垂直な線を引いて、円と交わる2点を結べばいいです。このようにすれば、必ず条件を満たす三角形が1個はできます。

これ以外で条件を満たすものはないので、ちょうど一つだとわかります。

なお、(2)では、 $\mathrm{M}$ が $\mathrm{O}$ と一致する場合を除外していますが、今の状況では、 $\mathrm{M}$ が $\mathrm{O}$ と一致することはありません。もし一致するとしたら、 $\mathrm{P,M}$ は直線 $\mathrm{CO}$ 上にないといけません。このとき、 $\mathrm{CP}=12$ で、 $\mathrm{CG}=4+2\sqrt{3}$ だから $\mathrm{PG}=8-2\sqrt{3}$ であり、 $\mathrm{PM}=12-3\sqrt{3}$ となります。 $\mathrm{PO}=6$ なので、一致しないことがわかります。

解答

シ：1（3点）

解答編　つづき

問題

(4) 同じ円に内接する二つの三角形が一つの頂点を共有するとき、それぞれの重心が一致することがあるかどうかを考察しよう。

　同一円周上に異なる5点 $\mathrm{A}$、$\mathrm{P}$、$\mathrm{Q}$、$\mathrm{P}'$、$\mathrm{Q}'$ があり、$\triangle \mathrm{APQ}$ の重心を $\mathrm{G}$、$\triangle \mathrm{AP'Q'}$ の重心を $\mathrm{G}'$ とする。このとき、次の命題(a)、(b)、(c)の真偽の組合せとして正しいものは $\dBox{ス}$ である。

(a) $\angle \mathrm{PAQ}$ が鋭角であるとき、$\mathrm{G}$ と $\mathrm{G}'$ が一致することがある。
(b) $\angle \mathrm{PAQ}$ が直角であるとき、$\mathrm{G}$ と $\mathrm{G}'$ が一致することがある。
(c) $\angle \mathrm{PAQ}$ が鈍角であるとき、$\mathrm{G}$ と $\mathrm{G}'$ が一致することがある。

　$\dbox{ス}$ の解答群

	0	1	2	3	4	5	6	7
(a)	真	真	真	真	偽	偽	偽	偽
(b)	真	真	偽	偽	真	真	偽	偽
(c)	真	偽	真	偽	真	偽	真	偽

解説

(4)
辺 $\mathrm{PQ}$ の中点を $\mathrm{M}$、辺 $\mathrm{P'Q'}$ の中点を $\mathrm{M'}$ としましょう。

重心 $\mathrm{G,G'}$ が一致するとすると、点 $\mathrm{A}$ の対辺である $\mathrm{PQ}, \mathrm{P'Q'}$ の中点同士も一致します。なので、 $\mathrm{M,M'}$ は同じ点です。

ここで、(2)より、$\mathrm{M}$ が $\mathrm{O}$ と一致しないときは、 $\mathrm{P,Q}$ は $\mathrm{M}$ を通り $\mathrm{OM}$ に垂直な線上にあります。 $\mathrm{M,M'}$ が同じ点であれば、 $\mathrm{P',Q'}$ も同じ直線上にあるので、 $\mathrm{P,Q,P',Q'}$ が互いに異なるという条件を満たしません。

一方、 $\mathrm{M}$ が $\mathrm{O}$ と一致するとき、 $\mathrm{PQ}$ と $\mathrm{P'Q'}$ は直径であればよく、これは無数のとり方があります。例えば次のようなとり方があります。

$\mathrm{PQ}$ が直径のときなので、 $\angle\mathrm{PAQ}$ が直角のときです。この場合には重心が一致することはありますが、これ以外のときは一致することはありません。

解答

ス：5（4点）