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京都大学 理系 2023年度 第4問 解説

問題編

問題

 次の関数 $f(x)$ の最大値と最小値を求めよ。
\[ f(x)=e^{-x^2}+\frac{1}{4}x^2+1+\frac{1}{e^{-x^2}+\frac{1}{4}x^2+1} \ (-1\leqq x\leqq 1) \]ただし、 $e$ は自然対数の底であり、その値は $e=2.71\cdots$ である。

考え方

微分をすることはすぐに思いつきますが、そのまま微分をするのはよくありません。式の形の特徴を用いて、無駄な計算はしないようにしましょう。

解答編

問題

 次の関数 $f(x)$ の最大値と最小値を求めよ。
\[ f(x)=e^{-x^2}+\frac{1}{4}x^2+1+\frac{1}{e^{-x^2}+\frac{1}{4}x^2+1} \ (-1\leqq x\leqq 1) \]ただし、 $e$ は自然対数の底であり、その値は $e=2.71\cdots$ である。

解答

$g(x)=e^{-x^2}+\dfrac{1}{4}x^2+1$ とすると、
\begin{eqnarray} g'(x) &=& -2x e^{-x^2} +\frac{1}{2}x \\[5pt] &=& \frac{x}{2}(-4 e^{-x^2} +1) \\[5pt] \end{eqnarray}となる。ここで、 $-1\leqq x \leqq 1$ の範囲では \begin{eqnarray} -4e^{-x^2}+1 \leqq -4e^{-1}+1 \lt 0 \end{eqnarray}なので、 $g'(x)=0$ となる $x$ は $0$ のみである。よって、増減表は次のようになる。 \begin{array}{c|ccccc} x & -1 & \cdots & 0 & \cdots & 1 \\ \hline g'(x) & &+ & 0 & - & \\ \hline g(x) & & \nearrow & & \searrow & \end{array}ここで、 $g(0)=2$ であり、 \begin{eqnarray} g(1) &=& g(-1) \\[5pt] &=& e^{-1}+\dfrac{1}{4}+1 \\[5pt] &=& \frac{4+5e}{4e} \\[5pt] \end{eqnarray}であり、この値は $1$ より大きい。

次に、 $h(x)=x+\dfrac{1}{x}$ $(1\lt x \leqq 2)$ を考える。 $h'(x)=1-\dfrac{1}{x^2}$ なので、この範囲では単調増加である。

$f(x)=h(g(x))$ なので、 $f(x)$ が最大になるのは $h(x)$ が最大になるときであり、 $g(x)$ が最大になるときであるから、 $x=0$ のときである。よって、最大値は\[ f(0)=2+\frac{1}{2}=\dfrac{5}{2} \]である。

一方、 $f(x)$ が最小になるのは、 $g(x)$ が最小になるときであり、 $x=\pm 1$ のときである。よって、最小値は
\begin{eqnarray} f(1) &=& h\left(\frac{4+5e}{4e}\right) \\[5pt] &=& \frac{5e+4}{4e}+\frac{4e}{5e+4} \\[5pt] &=& \frac{25e^2+40e+16+16e^2}{4e(5e+4)} \\[5pt] &=& \frac{41e^2+40e+16}{4e(5e+4)} \\[5pt] \end{eqnarray}となる。

(答)
最大値: $\dfrac{5}{2}$ $(x=0$ のとき $)$

最小値: $\dfrac{41e^2+40e+16}{4e(5e+4)}$ $(x=\pm 1$ のとき $)$

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