京都大学 理系 2023年度 第4問 解説
問題編
問題
次の関数 $f(x)$ の最大値と最小値を求めよ。
\[ f(x)=e^{-x^2}+\frac{1}{4}x^2+1+\frac{1}{e^{-x^2}+\frac{1}{4}x^2+1} \ (-1\leqq x\leqq 1) \]ただし、 $e$ は自然対数の底であり、その値は $e=2.71\cdots$ である。
考え方
微分をすることはすぐに思いつきますが、そのまま微分をするのはよくありません。式の形の特徴を用いて、無駄な計算はしないようにしましょう。
解答編
問題
次の関数 $f(x)$ の最大値と最小値を求めよ。
\[ f(x)=e^{-x^2}+\frac{1}{4}x^2+1+\frac{1}{e^{-x^2}+\frac{1}{4}x^2+1} \ (-1\leqq x\leqq 1) \]ただし、 $e$ は自然対数の底であり、その値は $e=2.71\cdots$ である。
解答
$g(x)=e^{-x^2}+\dfrac{1}{4}x^2+1$ とすると、
\begin{eqnarray}
g'(x)
&=&
-2x e^{-x^2} +\frac{1}{2}x \\[5pt]
&=&
\frac{x}{2}(-4 e^{-x^2} +1) \\[5pt]
\end{eqnarray}となる。ここで、 $-1\leqq x \leqq 1$ の範囲では
\begin{eqnarray}
-4e^{-x^2}+1 \leqq -4e^{-1}+1 \lt 0
\end{eqnarray}なので、 $g'(x)=0$ となる $x$ は $0$ のみである。よって、増減表は次のようになる。
\begin{array}{c|ccccc}
x & -1 & \cdots & 0 & \cdots & 1 \\
\hline
g'(x) & &+ & 0 & - & \\
\hline
g(x) & & \nearrow & & \searrow &
\end{array}ここで、 $g(0)=2$ であり、
\begin{eqnarray}
g(1)
&=&
g(-1) \\[5pt]
&=&
e^{-1}+\dfrac{1}{4}+1 \\[5pt]
&=&
\frac{4+5e}{4e} \\[5pt]
\end{eqnarray}であり、この値は $1$ より大きい。
次に、 $h(x)=x+\dfrac{1}{x}$ $(1\lt x \leqq 2)$ を考える。 $h'(x)=1-\dfrac{1}{x^2}$ なので、この範囲では単調増加である。
$f(x)=h(g(x))$ なので、 $f(x)$ が最大になるのは $h(x)$ が最大になるときであり、 $g(x)$ が最大になるときであるから、 $x=0$ のときである。よって、最大値は\[ f(0)=2+\frac{1}{2}=\dfrac{5}{2} \]である。
一方、 $f(x)$ が最小になるのは、 $g(x)$ が最小になるときであり、 $x=\pm 1$ のときである。よって、最小値は
\begin{eqnarray}
f(1)
&=&
h\left(\frac{4+5e}{4e}\right) \\[5pt]
&=&
\frac{5e+4}{4e}+\frac{4e}{5e+4} \\[5pt]
&=&
\frac{25e^2+40e+16+16e^2}{4e(5e+4)} \\[5pt]
&=&
\frac{41e^2+40e+16}{4e(5e+4)} \\[5pt]
\end{eqnarray}となる。
（答）
最大値： $\dfrac{5}{2}$ $(x=0$ のとき $)$
最小値： $\dfrac{41e^2+40e+16}{4e(5e+4)}$ $(x=\pm 1$ のとき $)$
