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京都大学 理系 2023年度 第5問 解説

問題編

問題

 $\mathrm{O}$ を原点とする $xyz$ 空間において、点 $\mathrm{P}$ と点 $\mathrm{Q}$ は次の3つの条件(a), (b), (c) を満たしている。

 (a) 点 $\mathrm{P}$ は $x$ 軸上にある。

 (b) 点 $\mathrm{Q}$ は $yz$ 平面上にある。

 (c) 線分 $\mathrm{OP}$ と線分 $\mathrm{OQ}$ の長さの和は $1$ である。

点 $\mathrm{P}$ と点 $\mathrm{Q}$ が条件(a), (b), (c) を満たしながらくまなく動くとき、線分 $\mathrm{PQ}$ が通過してできる立体の体積を求めよ。

考え方

動き方はわかりやすいですが、できあがる立体まではわかりません。対称性があるので、扱いやすい断面で切って考えましょう。

解答編

問題

 $\mathrm{O}$ を原点とする $xyz$ 空間において、点 $\mathrm{P}$ と点 $\mathrm{Q}$ は次の3つの条件(a), (b), (c) を満たしている。

 (a) 点 $\mathrm{P}$ は $x$ 軸上にある。

 (b) 点 $\mathrm{Q}$ は $yz$ 平面上にある。

 (c) 線分 $\mathrm{OP}$ と線分 $\mathrm{OQ}$ の長さの和は $1$ である。

点 $\mathrm{P}$ と点 $\mathrm{Q}$ が条件(a), (b), (c) を満たしながらくまなく動くとき、線分 $\mathrm{PQ}$ が通過してできる立体の体積を求めよ。

解答

立体を平面 $x=k$ で切った場合を考える $(0\leqq k \leqq 1)$。対称性から、断面は円である。また、点 $\mathrm{P}$ の座標を $(p,0,0)$ とする( $k\leqq p\leqq 1$)。このとき、点 $\mathrm{Q}$ は原点を中心とした半径 $1-p$ の円周上を動く。

線分 $\mathrm{PQ}$ と平面 $x=k$ との共有点のうち、 $y$ 座標が一番大きいものを考える。

この値を $y$ とおくと
\begin{eqnarray} p:(1-p) &=& (p-k):y \\[5pt] (1-p)(p-k) &=& yp \\[5pt] y &=& \frac{(1-p)(p-k)}{p} \\[5pt] &=& \frac{p-k-p^2+pk}{p} \\[5pt] &=& 1+k -\left(p+\frac{k}{p}\right) \\[5pt] \end{eqnarray}となる。 $p$ が $k\leqq p\leqq 1$ の範囲で動くとき、相加相乗平均より \begin{eqnarray} 1+k -\left(p+\frac{k}{p}\right) &\leqq & 1+k -2\sqrt{k} \end{eqnarray}となる(等号は $p=\sqrt{k}$ のときに成立。今考えている範囲では $p$ は $\sqrt{k}$ をとりうる)。一方、 $p=1$ へ近づければ $y$ は $0$ へ近づいていくことがわかる。

以上のことから、平面 $x=k$ で切ったときの断面は、半径 $1+k -2\sqrt{k}$ の円である。 $k\lt 0$ のときは対称性より $k\gt 0$ の場合と同じなので、求める立体の体積は
\begin{eqnarray} & & 2\cdot \int_0^1 (1+k -2\sqrt{k})^2 \pi dk \\[5pt] &=& 2\pi \int_0^1 (1+k^2+4k +2k-4\sqrt{k}-4k\sqrt{k}) dk \\[5pt] &=& 2\pi \left[k+\frac{k^3}{3}+3k^2-4\cdot\frac{2}{3}k^{3/2}-4\cdot\frac{2}{5} k^{5/2} \right]_0^1 \\[5pt] &=& 2\pi \left( 1+\frac{1}{3}+3-\frac{8}{3}-\frac{8}{5} \right) \\[5pt] &=& 2\pi \left( \frac{5}{3}-\frac{8}{5} \right) \\[5pt] &=& 2\pi \cdot \frac{25-24}{15} \\[5pt] &=& \frac{2\pi}{15} \\[5pt] \end{eqnarray}となる。(答)

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