京都大学 理系 2023年度 第6問 解説
問題編
問題
$p$ を $3$ 以上の素数とする。また、 $\theta$ を実数とする。
(1) $\cos 3\theta$ と $\cos 4\theta$ を $\cos\theta$ の式として表せ。
(2) $\cos \theta=\dfrac{1}{p}$ のとき、 $\theta=\dfrac{m}{n}\cdot\pi$ となるような正の整数 $m,n$ が存在するか否かを理由をつけて判定せよ。
考え方
3倍角、4倍角の式だけを見ても、普通は(2)を考えるのは難しいでしょう。どこかで $\cos n\theta$ を $\theta$ の多項式で表す、という問題を見たことがないと、なかなか初見で解くのは難しいと思います。
もし見たことがあっても、多項式で表せるというだけでは足りません。$3$ 以上の素数 $p$ を使った議論をするには、もう一つ道具が必要になります。
解答編
問題
$p$ を $3$ 以上の素数とする。また、 $\theta$ を実数とする。
(1) $\cos 3\theta$ と $\cos 4\theta$ を $\cos\theta$ の式として表せ。
解答
$\cos\theta=c$ とおく。加法定理、倍角の公式より
\begin{eqnarray}
\cos 3\theta
&=&
\cos 2\theta\cos \theta-\sin 2\theta\sin \theta \\[5pt]
&=&
(2c^2-1)c-2\sin \theta\cos\theta\sin \theta \\[5pt]
&=&
2c^3-c-2c(1-c^2) \\[5pt]
&=&
2c^3-c-2c+2c^3 \\[5pt]
&=&
4c^3-3c \\[5pt]
&=&
4\cos^3\theta-3\cos\theta \\[5pt]
\end{eqnarray}となる。また、倍角の公式より
\begin{eqnarray}
\cos4\theta
&=&
2(\cos 2\theta)^2-1 \\[5pt]
&=&
2(2c^2-1)^2-1 \\[5pt]
&=&
2(4c^4-4c^2+1)-1 \\[5pt]
&=&
8c^4-8c^2+1 \\[5pt]
&=&
8\cos^4\theta-8\cos^2\theta+1 \\[5pt]
\end{eqnarray}となる。以上から
\begin{eqnarray}
\cos3\theta &=& 4\cos^3\theta-3\cos\theta \\[5pt]
\cos4\theta &=& 8\cos^4\theta-8\cos^2\theta+1 \\[5pt]
\end{eqnarray}となる。（答）
解答編 つづき
問題
(2) $\cos \theta=\dfrac{1}{p}$ のとき、 $\theta=\dfrac{m}{n}\cdot\pi$ となるような正の整数 $m,n$ が存在するか否かを理由をつけて判定せよ。
解答
まず、次の条件(a)(b)を満たす整数係数の多項式 $f_n(x)$ が存在することを示す。
(a) $\cos n\theta=f_n(\cos \theta)$
(b) $f_n(x)$ は $n$ 次式で、最高次数の係数が $2^{n-1}$
(1)より、\[ f_3(x)=4x^3-3x,\ f_4(x)=8x^4-8x^2+1 \]とすればよいので、 $n=3,4$ のときは存在することがわかる。
また、 $k$ が $3$ 以上の整数のとき、上の条件(a)(b)を満たす $f_{k}(x),f_{k+1}(x)$ が存在するとする。このとき、和積の公式から
\begin{eqnarray}
\cos (k+2)\theta+\cos k\theta &=& 2\cos (k+1)\theta\cos \theta \\[5pt]
\cos (k+2)\theta &=& 2f_{k+1}(\theta)\cos \theta-f_{k}(\theta) \\[5pt]
\end{eqnarray}となるので、\[ f_{k+2}(x)=2xf_{k+1}(x)-f_{k}(x) \]とおけば、 $n=k+2$ のときも条件(a)(b)を満たす多項式が存在することがわかる。
よって、 $3$ 以上のすべての自然数 $n$ に対して、条件(a)(b)を満たす $f_n(x)$ が存在することがわかる。
ここで、もし、 $\cos\theta=\dfrac{1}{p}$ のときに、 $\theta=\dfrac{m}{n}\cdot \pi$ を満たす正の整数 $m,n$ があったとする。このとき、明らかに $n\ne 1,2$ であることがわかる。
$\cos n\theta=\cos m\pi$ なので、この値は $1$ か $-1$ であり、いずれにしても整数である。また、 $f_n(x)$ を $a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$ とおくと、 $a_n=2^{n-1}$ であり、$f_n\left(\dfrac{1}{p}\right) = \cos m\pi$ が成り立つ。これより、この両辺に $p^n$ を掛けると
\begin{eqnarray}
& & 2^{n-1} +pa_{n-1}+p^2a_{n-2}+\cdots +p^{n-1}a_1+p^na_0 = p^n \cos m\pi \\[5pt]
& & 2^{n-1}=-pa_{n-1}-p^2a_{n-2}-\cdots -p^{n-1}a_1-p^na_0 +p^n \cos m\pi
\end{eqnarray}
が成り立つが、最後の式の右辺は $p$ の倍数で左辺は $p$ の倍数ではない（$p$ は $3$ 以上の素数だから）ので、これは矛盾する。
以上から、$\theta=\dfrac{m}{n}\cdot \pi$ を満たす正の整数 $m,n$ は存在しない。（終）
