京都大学 理系 2023年度 第3問 解説

問題編

問題

　$n$ を自然数とする。1個のさいころを $n$ 回投げ、出た目を順に $X_1,X_2,\cdots,X_n$ とし、 $n$ 個の数の積 $X_1X_2\cdots X_n$ を $Y$ とする。

(1) $Y$ が $5$ で割り切れる確率を求めよ。

(2) $Y$ が $15$ で割り切れる確率を求めよ。

考え方

割り切れる場合を直接考えるのは面倒なので、求め方を考えましょう。(2)は否定形がいっぱい出てくるので混乱せずに解きましょう。確認のために、 $n=1$ の場合で検算しましょう。答えはもちろん $0$ なので、代入して $0$ でなければ計算間違いをしています。

解答編

問題

　$n$ を自然数とする。1個のさいころを $n$ 回投げ、出た目を順に $X_1,X_2,\cdots,X_n$ とし、 $n$ 個の数の積 $X_1X_2\cdots X_n$ を $Y$ とする。

(1) $Y$ が $5$ で割り切れる確率を求めよ。

解答

出た目の積が $5$ で割り切れない確率は、すべての目が $5$ 以外のときであるので、こうなる確率は $\left(\dfrac{5}{6}\right)^n$ である。

よって、出た目の積が $5$ で割り切れる確率は、$1-\left(\dfrac{5}{6}\right)^n$ …（答）

解答編　つづき

問題

(2) $Y$ が $15$ で割り切れる確率を求めよ。

解答

出た目の積が $3$ で割り切れない確率は、すべての目が $3,6$ 以外のときであるので、こうなる確率は $\left(\dfrac{2}{3}\right)^n$ である。

出た目の積が $3$ でも $5$ でも割り切れない確率は、すべての目が $3,5,6$ 以外のときであるので、こうなる確率は $\left(\dfrac{1}{2}\right)^n$ である。

以上から、 $3$ で割り切れない、または、 $5$ で割り切れない確率は\[ \left(\dfrac{5}{6}\right)^n+\left(\dfrac{2}{3}\right)^n-\left(\dfrac{1}{2}\right)^n \]となる。この余事象は、「 $3$ で割り切れる、かつ、 $5$ で割り切れる」なので、 $15$ で割り切れる場合である。よって、 求める確率は\[ 1-\left(\dfrac{5}{6}\right)^n-\left(\dfrac{2}{3}\right)^n+\left(\dfrac{1}{2}\right)^n \] となる。（答）