京都大学 理系 2023年度 第2問 解説
問題編
問題
空間内の4点 $\mathrm{O,A,B,C}$ は同一平面上にないとする。点 $\mathrm{D,P,Q}$ を次のように定める。点 $\mathrm{D}$ は $\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+2\overrightarrow{\mathrm{OB}}+3\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ を満たし、点 $\mathrm{P}$ は線分 $\mathrm{OA}$ を $1:2$ に内分し、点 $\mathrm{Q}$ は線分 $\mathrm{OB}$ の中点である。さらに、直線 $\mathrm{OD}$ 上の点 $\mathrm{R}$ を、直線 $\mathrm{QR}$ と直線 $\mathrm{PC}$ が交点を持つように定める。このとき、線分 $\mathrm{OR}$ の長さと線分 $\mathrm{RD}$ の長さの比 $\mathrm{OR:RD}$ を求めよ。
考え方
図は書きにくいですが、計算だけで解き進めることができます。計算も、ベクトルにしては標準的な量です。
解答編
問題
空間内の4点 $\mathrm{O,A,B,C}$ は同一平面上にないとする。点 $\mathrm{D,P,Q}$ を次のように定める。点 $\mathrm{D}$ は $\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+2\overrightarrow{\mathrm{OB}}+3\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ を満たし、点 $\mathrm{P}$ は線分 $\mathrm{OA}$ を $1:2$ に内分し、点 $\mathrm{Q}$ は線分 $\mathrm{OB}$ の中点である。さらに、直線 $\mathrm{OD}$ 上の点 $\mathrm{R}$ を、直線 $\mathrm{QR}$ と直線 $\mathrm{PC}$ が交点を持つように定める。このとき、線分 $\mathrm{OR}$ の長さと線分 $\mathrm{RD}$ の長さの比 $\mathrm{OR:RD}$ を求めよ。
解答
$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec{a}$, $\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\vec{b}$, $\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\vec{c}$ とする。このとき、 $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\dfrac{1}{3}\vec{a}$ であり、 $\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\dfrac{1}{2}\vec{b}$ である。
ここで、 $\overrightarrow{\mathrm{OR}}=r \overrightarrow{\mathrm{OD}}$ とし、直線 $\mathrm{QR}$ と直線 $\mathrm{PC}$ との交点を $\mathrm{T}$ とおく。 $\mathrm{QT:TR}=s:(1-s)$ とおくと
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{OT}}
&=&
(1-s) \overrightarrow{\mathrm{OQ}} + s \overrightarrow{\mathrm{OR}} \\[5pt]
&=&
\dfrac{1-s}{2}\vec{b}+sr\overrightarrow{\mathrm{OD}} \\[5pt]
&=&
rs\vec{a}+ \left(\dfrac{1-s}{2}+2rs\right)\vec{b}+3rs\vec{c} \\[5pt]
\end{eqnarray}となる。また、 $\mathrm{PT:TC}=t:(1-t)$ とおくと
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{OT}}
&=&
(1-t) \overrightarrow{\mathrm{OP}} + s \overrightarrow{\mathrm{OC}} \\[5pt]
&=&
\dfrac{1-t}{3}\vec{a}+ t\vec{c} \\[5pt]
\end{eqnarray}となる。ここで、4点 $\mathrm{O,A,B,C}$ は同一平面上にないので、係数比較をすると、次の3つの式が成り立つ。
\begin{eqnarray}
rs &=& \frac{1-t}{3} \\[5pt]
\dfrac{1-s}{2}+2rs &=& 0 \\[5pt]
3rs &=& t \\[5pt]
\end{eqnarray}1つ目と3つ目から
\begin{eqnarray}
1-t &=& t \\[5pt]
t &=& \frac{1}{2}
\end{eqnarray}が得られ、これを1つ目に代入すると $rs=\dfrac{1}{6}$ だから、2つ目に代入して
\begin{eqnarray}
\dfrac{1-s}{2}+2 \cdot\frac{1}{6} &=& 0 \\[5pt]
3(1-s)+2 &=& 0 \\[5pt]
3-3s+2 &=& 0 \\[5pt]
s &=& \frac{5}{3}
\end{eqnarray}となり、 $r=\dfrac{1}{6s}=\dfrac{1}{10}$ となることがわかる。
以上より、$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=\dfrac{1}{10} \overrightarrow{\mathrm{OD}}$ だから、 $\mathrm{OR:RD}=1:9$ …（答）
