京都大学 理系 2021年度 第3問 解説
問題編
問題
無限級数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \cos\dfrac{n\pi}{6}$ の和を求めよ。
考え方
$\cos$ の値は $12$ 個で一巡するため、部分和をとって考えるのは大変そうです。しかし、 $\cos\dfrac{n\pi}{6}$ の部分をもっとわかりやすい表現に変えてみると、計算量はグッと減ります。練習をしていないとなかなか思いつきにくいかもしれません。
解答編
問題
無限級数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \cos\dfrac{n\pi}{6}$ の和を求めよ。
解答例
\[ S_n=\sum_{k=0}^{n} \left(\dfrac{1}{2}\right)^k \cos\dfrac{k\pi}{6} \]とおく。また、\[ \alpha=\dfrac{1}{2} \left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right) \]とし、\[ \beta_n=\sum_{k=0}^{n} \alpha^k \]とおくと、 $\beta_n$ の実部は $S_n$ となる。
ここで
\begin{eqnarray}
\beta_n
&=&
\frac{1-\alpha^{n+1} }{1-\alpha} \\[5pt]
&=&
\frac{1-\alpha^{n+1} }{1-\frac{\sqrt{3} }{4}-\frac{1}{4}i} \\[5pt]
&=&
\frac{4(1-\alpha^{n+1})}{4-\sqrt{3}-i} \\[5pt]
&=&
\frac{4(1-\alpha^{n+1})(4-\sqrt{3}+i)}{(4-\sqrt{3})^2+1} \\[5pt]
&=&
\frac{4(1-\alpha^{n+1})(4-\sqrt{3}+i)}{16-8\sqrt{3}+3+1} \\[5pt]
&=&
\frac{(1-\alpha^{n+1})(4-\sqrt{3}+i)}{5-2\sqrt{3} } \\[5pt]
\end{eqnarray}となるので、 $S_n$ は $\dfrac{4-\sqrt{3} }{5-2\sqrt{3} }$ と $\dfrac{-\alpha^{n+1}(4-\sqrt{3}+i)}{5-2\sqrt{3} }$ の実部を足したものである。後者の実部の絶対値は、後者の絶対値以下であり、 $|\alpha|\lt 1$ であることから、 $n\to\infty$ としたとき、 $0$ に収束する。よって、 $S_n$ は $\dfrac{4-\sqrt{3} }{5-2\sqrt{3} }$ に収束するから
\begin{eqnarray}
& &
\sum_{n=0}^{\infty} \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \cos\dfrac{n\pi}{6} \\[5pt]
&=&
\dfrac{(4-\sqrt{3})(5+2\sqrt{3})}{(5-2\sqrt{3})(5+2\sqrt{3})} \\[5pt]
&=&
\dfrac{20+8\sqrt{3}-5\sqrt{3}-6}{25-12} \\[5pt]
&=&
\dfrac{14+3\sqrt{3} }{13} \\[5pt]
\end{eqnarray}と求められる。
（終）
