京都大学 理系 2021年度 第2問 解説
問題編
問題
曲線 $y=\dfrac{1}{2}(x^2+1)$ 上の点 P における接線は $x$ 軸と交わるとし、その交点を Q とおく。線分 PQ の長さを $L$ とするとき、 $L$ が取りうる値の最小値を求めよ。
考え方
図形は複雑ではなく、 $L$ もそこまでめんどうな式にはなりません。最小値を求めるにはやることは決まっているので、計算を間違わないようにすすめていきましょう。
解答編
問題
曲線 $y=\dfrac{1}{2}(x^2+1)$ 上の点 P における接線は $x$ 軸と交わるとし、その交点を Q とおく。線分 PQ の長さを $L$ とするとき、 $L$ が取りうる値の最小値を求めよ。
解答例
点 P の $x$ 座標を $p$ とする。曲線 $y=\dfrac{1}{2}(x^2+1)$ は $y$ 軸について対称なので、 $p\geqq 0$ としてよい。
$y'=x$ なので、点 P における接線は $p=0$ のとき以外は必ず $x$ 軸と交わり、 $p=0$ のときは交わらない。そのため、以下では $p\gt 0$ の範囲で考える。
接線の方程式は
\begin{eqnarray}
y &=& p(x-p)+\frac{1}{2}(p^2+1) \\[5pt]
&=& px-\frac{p^2}{2}+\frac{1}{2} \\[5pt]
\end{eqnarray} $y=0$ とすると
\begin{eqnarray}
px &=& \frac{p^2}{2}-\frac{1}{2} \\[5pt]
x &=& \frac{p}{2}-\frac{1}{2p} \\[5pt]
\end{eqnarray}なので、これが点 Q の $x$ 座標である。 $p\gt 0$ より、この値は $p$ より小さいので、2点 P, Q の $x$ 座標の差は
\begin{eqnarray}
p-\left( \frac{p}{2}-\frac{1}{2p} \right)
=
\frac{p}{2}+\frac{1}{2p}
\end{eqnarray}と書ける。直線 PQ の傾きは $p$ なので、 $L$ はこれを $\sqrt{1+p^2}$ 倍したものである。よって
\begin{eqnarray}
L
&=&
\sqrt{1+p^2} \left(\frac{p}{2}+\frac{1}{2p}\right) \\[5pt]
&=&
\sqrt{1+p^2} \cdot \frac{p^2+1}{2p} \\[5pt]
&=&
\frac{(p^2+1)^{3/2} }{2p} \\[5pt]
\end{eqnarray}と表すことができる。これを $f(p)$ とおくと
\begin{eqnarray}
f'(p)
&=&
\frac{\frac{3}{2}(p^2+1)^{1/2}\cdot 2p\cdot 2p-(p^2+1)^{3/2}\cdot 2}{(2p)^2} \\[5pt]
&=&
\frac{6p^2(p^2+1)^{1/2}-2(p^2+1)(p^2+1)^{1/2} }{4p^2} \\[5pt]
&=&
\frac{(3p^2-p^2-1)(p^2+1)^{1/2} }{2p^2} \\[5pt]
&=&
\frac{(2p^2-1)(p^2+1)^{1/2} }{2p^2} \\[5pt]
\end{eqnarray}となるので、増減表は次のようになる。
\begin{array}{c|ccccc}
p & 0 & \cdots & \dfrac{1}{\sqrt{2} } & \cdots \\
\hline
f'(p) & & - & 0 & + \\
\hline
f(p) & \times & \searrow & & \nearrow
\end{array}よって、 $L$ は $p=\dfrac{1}{\sqrt{2} }$ に最小値をとる。その最小値は
\begin{eqnarray}
f\left(\frac{1}{2}\right)
&=&
\frac{(\frac{1}{2}+1)^{3/2} }{2\cdot\frac{1}{\sqrt{2} }} \\[5pt]
&=&
\frac{\frac{3}{2}\sqrt{\frac{3}{2} }}{\sqrt{2} } \\[5pt]
&=&
\frac{3\sqrt{3} }{4}
\end{eqnarray}である。
（終）
