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京都大学 理系 2020年度 第6問 解説

問題編

問題

 $x,y,z$ を座標とする空間において、 $xy$ 平面内の曲線\[ z=\sqrt{\log(1+x)} \quad(0\leqq x\leqq 1) \]を $z$ 軸のまわりに1回転させるとき、この曲線が通過した部分よりなる図形を $S$ とする。この $S$ をさらに $x$ 軸のまわりに1回転させるとき、 $S$ が通過した部分よりなる立体を $V$ とする。このとき、 $V$ の体積を求めよ。

考え方

回転したものを回転させる、というのは考えづらいですが、平面で切って断面図がどうなるかを考えましょう。今の場合、わかりやすい曲線を回転させるので、計算はそれほど大変ではありません。


解答編

問題

 $x,y,z$ を座標とする空間において、 $xy$ 平面内の曲線\[ z=\sqrt{\log(1+x)} \quad(0\leqq x\leqq 1) \]を $z$ 軸のまわりに1回転させるとき、この曲線が通過した部分よりなる図形を $S$ とする。この $S$ をさらに $x$ 軸のまわりに1回転させるとき、 $S$ が通過した部分よりなる立体を $V$ とする。このとき、 $V$ の体積を求めよ。

解答

$z=\sqrt{\log(1+x)}$ は、 $0\leqq x\leqq 1$ の範囲で単調増加である。よって、 $S$ を平面 $x=t$ $(0\leqq t \leqq 1)$ で切断したとき、切断面は途切れない曲線になり、 $(t,0,0)$ に一番近い点は $y=0$ のときで、一番遠い点は $x=\sqrt{\log(1+t)}$ のときとなる。つまり、一番近い点は $(t,0,\sqrt{\log(1+t)})$ で、一番遠い点は $(t,\pm\sqrt{1-t^2},\sqrt{\log2})$ となる。

このため、 $V$ を平面 $x=t$ で切断したときの断面は、半径 $\sqrt{1-t^2+\log 2}$ の円から 半径 $\sqrt{\log(1+t)}$ の円をくりぬいた図形となる。また、 $V$ は平面 $x=0$ について対称なので、 $V$ の体積は
\begin{eqnarray} & & 2\pi \int_0^1 \{ (1-t^2+\log 2)-\log(1+t) \} dt \\[5pt] &=& 2\pi \left[ t-\dfrac{1}{3}t^3+t\log 2\right]_0^1 \\ & & -2\pi \left[ (1+t)\log(1+t) \right]_0^1 +2\pi \int_0^1 dt \\[5pt] &=& 2\pi \left(\dfrac{2}{3}+\log 2 \right) \\ & & -2\pi \cdot 2\log2 +2\pi \\[5pt] &=& \frac{10}{3}\pi-2\pi\log2 \end{eqnarray}となる。

(終)

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