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京都大学 理系 2020年度 第1問 解説

問題編

問題

 $a,b$ は実数で、 $a\gt 0$ とする。 $z$ に関する方程式\[ z^3+3az^2+bz+1=0 \quad(*) \]は3つの相異なる解を持ち、それらは複素数平面上で一辺の長さが $\sqrt{3} a$ の正三角形の頂点となっているとする。このとき、 $a,b$ と $(*)$ の3つの解を求めよ。

考え方

何を文字で置くか、で煩雑さが変わってきそうです。計算が大変だと思ったら、引き返して別の方針で考えたりしましょう。


解答編

問題

 $a,b$ は実数で、 $a\gt 0$ とする。 $z$ に関する方程式\[ z^3+3az^2+bz+1=0 \quad(*) \]は3つの相異なる解を持ち、それらは複素数平面上で一辺の長さが $\sqrt{3} a$ の正三角形の頂点となっているとする。このとき、 $a,b$ と $(*)$ の3つの解を求めよ。

解答

$(*)$ は実数係数であり、虚数の解を持つことから、3つの解は $\alpha,\beta,\bar{\beta}$ と置ける(ただし、 $\alpha$ は実数、 $\beta$ は虚部が正の複素数)。

解と係数の関係から、 $\dfrac{\alpha+\beta+\bar{\beta} }{3}=-a$ なので、正三角形の重心に対応する複素数は $-a$ である。また、この正三角形の一辺の長さは $\sqrt{3}a$ なので、重心からの距離は $a$ である。よって、この正三角形の頂点は、 $-a$ を中心とした半径 $a$ の円周上にある。この円周上の点で実数は $0,-2a$ だけであるが、 $z=0$ は明らかに $(*)$ の解ではないため、 $\alpha=-2a$ である。よって、 $\beta=-\dfrac{1}{2}a+\dfrac{\sqrt{3} }{2}ai$ であることもわかる。

解と係数の関係から
\begin{eqnarray} \alpha\beta\bar{\beta} &=& -1 \\[5pt] -2a\cdot a^2 &=& -1 \\[5pt] a^3 &=& \dfrac{1}{2} \\[5pt] \end{eqnarray}である。 $a$ は正の実数だから、 $a=\dfrac{1}{\sqrt[3]{2} }$ となる。

これより、 $(*)$ の3つの解は、 $-\sqrt[3]{4}$, $-\dfrac{\sqrt[3]{4} }{4}(1\pm \sqrt{3}i)$ となる。

解と係数の関係から、
\begin{eqnarray} b &=& \alpha\beta + \alpha\bar{\beta} + \beta\bar{\beta} \\[5pt] &=& -2a\times(-a) + a^2 \\[5pt] &=& 3a^2 \\[5pt] &=& \dfrac{3}{\sqrt[3]{4} } \\[5pt] \end{eqnarray}となる。

以上より、 $a=\dfrac{1}{\sqrt[3]{2} }$, $b=\dfrac{3}{\sqrt[3]{4} }$, $(*)$ の解は $z=$ $-\sqrt[3]{4}$, $-\dfrac{\sqrt[3]{4} }{4}(1\pm \sqrt{3}i)$ となる。

(終)

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