問題編
問題
正の整数 $a$ に対して
$a=3^bc$ ( $b,c$ は整数で $c$ は $3$ で割り切れない)
の形に書いたとき、 $B(a)=b$ と定める。例えば、 $B(3^2\cdot 5)=2$ である。
$m,n$ は整数で、次の条件を満たすとする。
(i) $1\leqq m \leqq 30$
(ii) $1\leqq n \leqq 30$
(iii) $n$ は $3$ で割り切れない。このような $(m,n)$ について\[ f(m,n)=m^3+n^2+n+3 \]とするとき、\[A(m,n)=B(f(m,n))\]の最大値を求めよ。また、 $A(m,n)$ の最大値を与えるような $(m,n)$ をすべて求めよ。
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著者：上園信武
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(2020年09月 時点の情報です)
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考え方
難しく書いていますが、結局、 $a$ を3で割れる最大回数が $B(a)$ 回、ということです。場合分けをして考えていきますが、3で割れる回数が多くなるような場合にしぼって考えていくようにしましょう。
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特に、私立大に出題が多い小問集合が確実にクリアできる力がつきます。