京都大学 理系 2020年度 第4問 解説
問題編
問題
正の整数 $a$ に対して
$a=3^bc$ ( $b,c$ は整数で $c$ は $3$ で割り切れない)
の形に書いたとき、 $B(a)=b$ と定める。例えば、 $B(3^2\cdot 5)=2$ である。
$m,n$ は整数で、次の条件を満たすとする。
(i) $1\leqq m \leqq 30$
(ii) $1\leqq n \leqq 30$
(iii) $n$ は $3$ で割り切れない。このような $(m,n)$ について\[ f(m,n)=m^3+n^2+n+3 \]とするとき、\[A(m,n)=B(f(m,n))\]の最大値を求めよ。また、 $A(m,n)$ の最大値を与えるような $(m,n)$ をすべて求めよ。
考え方
難しく書いていますが、結局、 $a$ を3で割れる最大回数が $B(a)$ 回、ということです。場合分けをして考えていきますが、3で割れる回数が多くなるような場合にしぼって考えていくようにしましょう。
解答編
問題
正の整数 $a$ に対して
$a=3^bc$ ( $b,c$ は整数で $c$ は $3$ で割り切れない)
の形に書いたとき、 $B(a)=b$ と定める。例えば、 $B(3^2\cdot 5)=2$ である。
$m,n$ は整数で、次の条件を満たすとする。
(i) $1\leqq m \leqq 30$
(ii) $1\leqq n \leqq 30$
(iii) $n$ は $3$ で割り切れない。このような $(m,n)$ について\[ f(m,n)=m^3+n^2+n+3 \]とするとき、\[A(m,n)=B(f(m,n))\]の最大値を求めよ。また、 $A(m,n)$ の最大値を与えるような $(m,n)$ をすべて求めよ。
解答
$f(m,n)$ を3で割ることができる回数が多くなる場合を考えていく。
（ア） $n$ を3で割った余りが 1 の場合
（注：2023/01/19 計算間違いをしていたので修正しました。）
$n=3b+1$ と置く（ $b=0, 1,2,\cdots, 9$ ）。また、 $m=3q+r$ とおく（ $r=0,1,2$ で、 $q$ は整数）。このとき、
\begin{eqnarray}
& & m^3+n^2+n+3 \\[5pt]
&=& (3q+r)^3+(3b+1)^2+(3b+1)+3 \\[5pt]
&=& (27q^3+27q^2r+9qr^2+r^3) \\
& & +9b^2+9b+5 \\[5pt]
&=& 9(3q^3+3q^2r+qr^2+b^2+b) +r^3+5 \\[5pt]
\end{eqnarray}となる。 $r=0,1,2$ のとき、 $r^3+5$ はそれぞれ $5,6,13$ となるので、3の倍数になることはあるが9の倍数にはならない。よって、この場合、 $A(m,n)$ の最大値は $1$ である。
（イ） $n$ を3で割った余りが 2 の場合
$n=3b-1$ と置く（ $b=1,2,3,\cdots, 10$ ）。このとき、
\begin{eqnarray}
& &
n^2+n+3 \\[5pt]
&=&
(3b-1)^2+(3b-1)+3 \\[5pt]
&=& 9b^2-3b+3
\end{eqnarray}となる。これは3の倍数なので、 $f(m,n)$ が3の倍数になるのは $m$ も3の倍数のときである。そこで、以下では $m=3a$ とおいて考える（ $a=1,2,3,\cdots, 10$ ）。
$f(m,n)=27a^3+9b^2-3b+3$ が9の倍数になるのは、 $b-1$ が3の倍数のときである。よって、 $b=3c+1$ とおく（ $c=0,1,2,3$ ）。このとき、
\begin{eqnarray}
& &
f(m,n) \\[5pt]
&=& 27a^3+9b^2-3b+3 \\[5pt]
&=& 27a^3+9(3c+1)^2-3(3c+1)+3 \\[5pt]
&=& 27a^3+9(9c^2+6c+1)-9c-3+3 \\[5pt]
&=& 27a^3+9(9c^2+5c+1) \\[5pt]
\end{eqnarray}となる。 $c=0,1,2,3$ のときに $9c^2+5c+1$ が3の倍数となるのは、 $c=1$ のときだけである。よって、このときに $A(m,n)$ は最大になる。
$c=1$ を先ほどの式に代入すると
\begin{eqnarray}
& &
27a^3+9(9c^2+5c+1) \\[5pt]
&=&
27a^3+135 \\[5pt]
&=&
27(a^3+5) \\[5pt]
\end{eqnarray}である。 $a^3+5$ は、 $a$ を3で割った余りが1の場合に3の倍数になる。また、\[ (3x+1)^3=27x^3+27x^2+9x+1 \]だから、 $a^3+5$ を9で割った余りは6になるので、9の倍数にはならない。以上から、 $c=1$ で $a=1,4,7,10$ のときに、 $f(m,n)$ は81の倍数になるが243の倍数にはならず、他の場合は81の倍数にならないことがわかる。
$c=1$ のとき、 $b=3c+1=4$ であり、 $n=3b-1=11$ である。また、 $m=3a$ だったので、 $m=3,12,21,30$ である。
（ア）（イ）より、 $A(m,n)$ の最大値は $4$ であり、こうなる $(m,n)$ の組は $(3,11)$, $(12,11)$, $(21,11)$, $(30,11)$ の4組である。
（終）