京都大学 理系 2020年度 第4問 解説

問題編

問題

 正の整数 $a$ に対して

 $a=3^bc$ ( $b,c$ は整数で $c$ は $3$ で割り切れない)

の形に書いたとき、 $B(a)=b$ と定める。例えば、 $B(3^2\cdot 5)=2$ である。

 $m,n$ は整数で、次の条件を満たすとする。

 (i) $1\leqq m \leqq 30$
 (ii) $1\leqq n \leqq 30$
 (iii) $n$ は $3$ で割り切れない。

このような $(m,n)$ について\[ f(m,n)=m^3+n^2+n+3 \]とするとき、\[A(m,n)=B(f(m,n))\]の最大値を求めよ。また、 $A(m,n)$ の最大値を与えるような $(m,n)$ をすべて求めよ。

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考え方

難しく書いていますが、結局、 $a$ を3で割れる最大回数が $B(a)$ 回、ということです。場合分けをして考えていきますが、3で割れる回数が多くなるような場合にしぼって考えていくようにしましょう。