京都大学 理系 2020年度 第3問 解説

問題編

問題

 $k$ を正の実数とする。座標空間において、原点 O を中心とする半径 $1$ の球面上の4点 A, B, C, D が次の関係式を満たしている。
\begin{eqnarray}
& & \overrightarrow{ \mathrm{ OA } }\cdot \overrightarrow{ \mathrm{ OB } }
=\overrightarrow{ \mathrm{ OC } }\cdot \overrightarrow{ \mathrm{ OD } } =\frac{1}{2}, \\[5pt] & & \overrightarrow{ \mathrm{ OA } }\cdot \overrightarrow{ \mathrm{ OC } }
=\overrightarrow{ \mathrm{ OB } }\cdot \overrightarrow{ \mathrm{ OC } } =-\frac{\sqrt{6}}{4}, \\[5pt] & & \overrightarrow{ \mathrm{ OA } }\cdot \overrightarrow{ \mathrm{ OD } }
=\overrightarrow{ \mathrm{ OB } }\cdot \overrightarrow{ \mathrm{ OD } } =k \\[5pt] \end{eqnarray}
このとき、 $k$ の値を求めよ。ただし、座標空間の点 X, Y に対して、 $\overrightarrow{ \mathrm{ OX } }\cdot \overrightarrow{ \mathrm{ OY } }$ は、 $\overrightarrow{ \mathrm{ OX } }$ と $\overrightarrow{ \mathrm{ OY } }$ の内積を表す。

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考え方

一般的に座標を置いて計算するのは大変です。まずは、内積で与えられた条件が、図形のどのような性質に置き換えられるかを考えます。図形として考えると計算はかなり減りますが、空間図形では図形として考えるのも大変です。適宜、適当な平面で切って考えてみましょう。