京都大学 理系 2020年度 第2問 解説

問題編

問題

 $p$ を正の整数とする。 $\alpha,\beta$ は $x$ に関する方程式 $x^2-2px-1=0$ の2つの解で、 $|\alpha|\gt 1$ であるとする。

(1) すべての正の整数 $n$ に対し、 $\alpha^n+\beta^n$ は整数であり、さらに偶数であることを証明せよ。

(2) 極限 $\lim_{n\to\infty} (-\alpha)^n \sin(\alpha^n\pi)$ を求めよ。

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考え方

(1)は何をすべきかはすぐにわかるでしょう。(2)がちょっとわかりづらいです。 $\alpha$ は絶対値が 1 より大きい数なので、 $n$ 乗すれば無限大に発散します。そこに $\sin$ を掛けても、どうなるかわからないですね。不定形なのかどうかもわかりづらいです。

ただ、(1)をよく見てみましょう。なぜ整数じゃなくて「偶数」を示したのかがヒントになっています。「 $\sin$ の入った極限というと、あれかな?」と考えることもできるでしょう。といっても、なかなか思いつくのは難しいです。