京都大学 理系 2020年度 第2問 解説
問題編
問題
$p$ を正の整数とする。 $\alpha,\beta$ は $x$ に関する方程式 $x^2-2px-1=0$ の2つの解で、 $|\alpha|\gt 1$ であるとする。
(1) すべての正の整数 $n$ に対し、 $\alpha^n+\beta^n$ は整数であり、さらに偶数であることを証明せよ。
(2) 極限 $\lim_{n\to\infty} (-\alpha)^n \sin(\alpha^n\pi)$ を求めよ。
考え方
(1)は何をすべきかはすぐにわかるでしょう。(2)がちょっとわかりづらいです。 $\alpha$ は絶対値が 1 より大きい数なので、 $n$ 乗すれば無限大に発散します。そこに $\sin$ を掛けても、どうなるかわからないですね。不定形なのかどうかもわかりづらいです。
ただ、(1)をよく見てみましょう。なぜ整数じゃなくて「偶数」を示したのかがヒントになっています。「 $\sin$ の入った極限というと、あれかな？」と考えることもできるでしょう。といっても、なかなか思いつくのは難しいです。
解答編
問題
$p$ を正の整数とする。 $\alpha,\beta$ は $x$ に関する方程式 $x^2-2px-1=0$ の2つの解で、 $|\alpha|\gt 1$ であるとする。
(1) すべての正の整数 $n$ に対し、 $\alpha^n+\beta^n$ は整数であり、さらに偶数であることを証明せよ。
解答
(1)
$x^2-2px-1=0$ の解は $x=p\pm\sqrt{p^2+1}$ である。 $|p+\sqrt{p^2+1}|\gt 1$ であり、\[ |p-\sqrt{p^2+1}|=\dfrac{1}{p+\sqrt{p^2+1} }\lt 1 \]なので、 $\alpha=p+\sqrt{p^2+1}$, $\beta=p-\sqrt{p^2+1}$ である。
以下では、数学的帰納法を用いて、 $\alpha^n+\beta^n$ が偶数であることを示す。
(i) $n=1$ のとき
$\alpha^1+\beta^1=2p$ なので、偶数である。
(ii) $n=2$ のとき
$\alpha^2+\beta^2=4p^2+2$ なので、偶数である。
(iii) $k$ を2以上の整数とする。 $n=k,k-1$ のときに $\alpha^n+\beta^n$ が偶数であるとする。 $n=k+1$ のとき、
\begin{eqnarray}
& &
\alpha^{k+1}+\beta^{k+1} \\[5pt]
&=&
(\alpha^k+\beta^k)(\alpha+\beta)-\alpha\beta(\alpha^{k-1}+\beta^{k-1}) \\[5pt]
\end{eqnarray}と書ける。ここで、仮定より $\alpha^k+\beta^k$ と $\alpha^{k-1}+\beta^{k-1}$ は偶数であり、(i)より $\alpha+\beta$ も偶数である。 $\alpha\beta=-1$ なので、この場合も偶数となることがわかる。
(i)(ii)(iii)から、数学的帰納法より、すべての正の整数 $n$ に対し、 $\alpha^n+\beta^n$ は偶数であることが示された。
（終）
解答編 つづき
問題
(2) 極限 $\lim_{n\to\infty} (-\alpha)^n \sin(\alpha^n\pi)$ を求めよ。
解答
$(-\alpha)^x \sin(\alpha^x\pi)$ は $x$ の連続関数なので、 $x$ が整数の値をとりながら限りなく大きくしたときにこの関数がある値に近づくとすると、整数以外の値も取りながら大きくしたときもその値に近づく。そのため、 $n$ は正の整数として考える。
解と係数の関係から $\alpha\beta=-1$ である。また、(1)より $\alpha^n+\beta^n$ は偶数なので、
\begin{eqnarray}
& &
(-\alpha)^n \sin(\alpha^n\pi) \\[5pt]
&=&
\left(\dfrac{1}{\beta}\right)^n \sin\{(\alpha^n+\beta^n)\pi-\beta^n\pi\} \\[5pt]
&=&
\dfrac{\sin(-\beta^n\pi)}{\beta^n} \\[5pt]
&=&
\dfrac{\sin(-\beta^n\pi)}{-\beta^n\pi} \cdot(-\pi) \\[5pt]
\end{eqnarray}と書ける。ここで、 $|\beta|\lt 1$ なので、 $n\to\infty$ のとき $\beta^n\to 0$ だから、この値は $-\pi$ に収束する。よって、\[ \lim_{n\to\infty} (-\alpha)^n \sin(\alpha^n\pi)=-\pi \]となる。
（終）
