京都大学 理系 2019年度 第6問 解説

解答編

問題

 i は虚数単位とする。 $(1+i)^n+(1-i)^n\gt 10^{10}$ を満たす最小の正の整数 n を求めよ。

解答

\begin{eqnarray}
1+i &=& \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right) \\[5pt] 1-i &=& \sqrt{2}\left(\cos\frac{-\pi}{4}+i\sin\frac{-\pi}{4}\right) \\[5pt] \end{eqnarray}なので、
\begin{eqnarray}
& &
(1+i)^n+(1-i)^n \\[5pt] &=&
2^{\frac{n}{2}} \left(\cos\frac{n\pi}{4}+i\sin\frac{n\pi}{4}\right) \\
& &
+2^{\frac{n}{2}} \left(\cos\frac{-n\pi}{4}+i\sin\frac{-n\pi}{4}\right) \\[5pt] &=&
2^{\frac{n}{2}} \cdot 2\cos\frac{n\pi}{4} \\[5pt] &=&
2^{\frac{n}{2}+1} \cos\frac{n\pi}{4} \\[5pt] \end{eqnarray}となる。これが $10^{10}$ より大きくなるとき、 $\cos\dfrac{n\pi}{4}$ は正でないといけないので、正の整数 $n$ を $8$ で割った余りは、 $0,1,7$ のどれかとなる。

(i) $n$ を $8$ で割った余りが、 $0$ のとき

このとき、 $\cos\dfrac{n\pi}{4}=1$ である。よって\[2^{\frac{n}{2}+1} \gt 10^{10}\]を満たす $n$ を求めればよい。両辺について、 $10$ を底とする対数を考えると
\begin{eqnarray}
\left(\frac{n}{2}+1\right)\log_{10}2 & \gt & 10 \\[5pt] \frac{n}{2}+1 & \gt & \frac{10}{\log_{10}2} \\[5pt] n & \gt & \frac{20}{\log_{10}2}-2 \\[5pt] \end{eqnarray}となる。ここで、常用対数表では、 $\log_{10}2$ に対応する箇所は $0.3010$ となっているので
\begin{eqnarray}
\frac{20}{0.3011} \lt \frac{20}{\log_{10}2} \lt \frac{20}{0.3009}
\end{eqnarray}であり、 $\dfrac{20}{0.3011}=66.42\cdots$, $\dfrac{20}{0.3009}=66.64\cdots$ であるから、 $\dfrac{20}{\log_{10}2}$ の整数部分は $66$ である。よって、\[ n \gt \frac{20}{\log_{10}2}-2 \]を満たす整数 $n$ は $65$ 以上であり、その中で $8$ で割った余りが $0$ になる最小の整数は $72$ である。

(ii) $n$ を $8$ で割った余りが、 $1,7$ のとき

このとき、 $\cos\dfrac{n\pi}{4}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ である。よって\[2^{\frac{n}{2}+\frac{1}{2}} \gt 10^{10}\]を満たす $n$ を求めればよい。両辺について、 $10$ を底とする対数を考えると
\begin{eqnarray}
\left(\frac{n}{2}+\frac{1}{2}\right)\log_{10}2 & \gt & 10 \\[5pt] \frac{n}{2}+\frac{1}{2} & \gt & \frac{10}{\log_{10}2} \\[5pt] n & \gt & \frac{20}{\log_{10}2}-1 \\[5pt] \end{eqnarray}となる。

(i)で見たように、 $\dfrac{20}{\log_{10}2}$ の整数部分は $66$ なので、\[ n \gt \frac{20}{\log_{10}2}-1 \]を満たす整数 $n$ は $66$ 以上であり、その中で $8$ で割った余りが $1$ か $7$ になる最小の整数は $71$ である。

(i)(ii)から、条件式をみたす最小の正の整数 $n$ は、 $71$ である。

(終)

解説

複素数で $n$ 乗といえば、極形式にすることを思いつくでしょう。左辺を簡単な形に変形していきます。左辺が正であることから、 $\cos$ が正になる場合を考え、それぞれのケースについて範囲を絞っていきましょう。