京都大学 理系 2019年度 第2問 解説

解答編

問題

 $f(x)=x^3+2x^2+2$ とする。 $|f(n)|$ と $|f(n+1)|$ がともに素数となる整数 n をすべて求めよ。

解答

$k$ を整数とする。 $|f(2k)|$ が素数になる場合を考える。

\begin{eqnarray}
f(2k)
&=&
8k^3+8k^2+2 \\[5pt] &=&
8k^2(k+1)+2 \\[5pt] \end{eqnarray}であり、この値は偶数なので、 $|f(2k)|$ が素数なら $2$ となるしかない。

$f(2k)=2$ となるのは
\begin{eqnarray}
8k^2(k+1)+2 &=& 2 \\[5pt] k^2(k+1) &=& 0 \\[5pt] k &=& 0,-1 \\[5pt] \end{eqnarray}のときである。また、 $f(2k)=-2$ とすると
\begin{eqnarray}
8k^2(k+1)+2 &=& -2 \\[5pt] k^2(k+1) &=& -\frac{1}{2} \\[5pt] \end{eqnarray}となるが、これを満たす整数 $k$ はない。

以上から、 $|f(2k)|$ が素数なら、 $k=0,-1$ となる。 $n,n+1$ のどちらかは偶数なので、 $n,n+1$ のどちらかは、 $0$ または $-2$ となる。

$n=0$ のときは、 $f(n)=2$, $f(n+1)=5$ である。
$n+1=0$ のときは、 $f(n)=3$, $f(n+1)=2$ である。

$n=-2$ のときは、 $f(n)=2$, $f(n+1)=3$ である。
$n+1=-2$ のときは、 $f(n)=-7$, $f(n+1)=2$ である。

よって、どの場合も、 $|f(n)|$, $|f(n+1)|$ はともに素数となる。

以上より、 $n=-3,-2,-1,0$ となる。

(終)

解説

$f(n)$ と $f(n+1)$ のどちらかが偶数になることに気づけば、素数となるのは $2$ のときだけなので、 $n$ の候補はかなり絞られます。あとは、順番に確かめていけばいいでしょう。