京都大学 理系 2018年度 第2問 解説

問題編

問題

　$n^3-7n+9$ が素数となるような整数 n をすべて求めよ。

考え方

$n=1,2,3,4$ などで実験してみると、すぐにあることに気づきます。素数になるとすると、値が一つに決まるのではないか、という予想を立てて考えていきましょう。

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解答編

問題

　$n^3-7n+9$ が素数となるような整数 n をすべて求めよ。

解答

\begin{eqnarray} & & n^3-7n+9 \\ &=& n^3-n-6n+9 \\ &=& (n-1)n(n+1)-6n+9 \\ \end{eqnarray}である。 n が整数のとき、 $(n-1)n(n+1)$ は連続する3つの整数の積なので3の倍数であり、 $-6n+9$ も3の倍数なので、これが素数だとすると3のときしかない。 \begin{eqnarray} n^3-7n+9 &=& 3 \\[5pt] n^3-7n+6 &=& 0 \\[5pt] (n-1)(n^2+n-6) &=& 0 \\[5pt] (n-1)(n-2)(n+3) &=& 0 \\[5pt] n &=& 1,2,-3 \\[5pt] \end{eqnarray}より、 $n^3-7n+9$ が素数となる整数 n は、 $1,2,-3$