京都大学 理系 2013年度 第6問 解説

問題編

問題

　投げたときに表が出る確率と裏が出る確率が等しい硬貨を用意する。数直線上に石を置き、この硬貨を投げて表が出れば数直線上で原点に関して対称な点に石を移動し、裏が出れば数直線上で座標 $1$ の点に関して対称な点に石を移動する。

(1) 石が座標 $x$ の点にあるとする。2回硬貨を投げたとき、石が座標 $x$ の点にある確率を求めよ。

(2) 石が原点にあるとする。 $n$ を自然数とし、 $2n$ 回硬貨を投げたとき、石が座標 $2n-2$ の点にある確率を求めよ。

考え方

硬貨を1回投げたあとで、どこに移動するかをまず考えましょう。変わった移動に見えますが、よく考えるとどこに移動するかはわかりやすいです。

(2)は(1)を使います。投げる回数が $n$ 倍になっているので、(1)を $n$ 回行うと考えましょう。

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解答編

問題

　投げたときに表が出る確率と裏が出る確率が等しい硬貨を用意する。数直線上に石を置き、この硬貨を投げて表が出れば数直線上で原点に関して対称な点に石を移動し、裏が出れば数直線上で座標 $1$ の点に関して対称な点に石を移動する。

(1) 石が座標 $x$ の点にあるとする。2回硬貨を投げたとき、石が座標 $x$ の点にある確率を求めよ。

(2) 石が原点にあるとする。 $n$ を自然数とし、 $2n$ 回硬貨を投げたとき、石が座標 $2n-2$ の点にある確率を求めよ。

解答

(1)
石が座標 $p$ にあるとすると、次に表が出れば $-p$ に移動する。一方、次に裏が出たときに $q$ に移動するとすると、 $\dfrac{p+q}{2}=1$ が成り立つので、 $q=2-p$ である。

以上から、今、石が座標 $x$ にあるとして、2回硬貨を投げたとき、1回目2回目が
　表表なら $-(-x)=x$ に移動し、
　裏表なら $-(2-x)=x-2$ 、
　表裏なら $2-(-x)=x+2$ 、
　裏裏なら $2-(2-x)=x$
に移動することがわかる。

よって、2回硬貨を投げて石が座標 $x$ にある確率は、2回投げたうち、表と裏が1回ずつ出るときなので $\dfrac{1}{2}$ となる。

答： $\dfrac{1}{2}$

(2)
硬貨を投げて石を移動する操作を2回続けて行うことを「1ステップ」と呼ぶことにする。(1)より、今、石が座標 $x$ にあるときに、1ステップ後には

　(A) $x$ に移動する
　(B) $x-2$ に移動する
　(C) $x+2$ に移動する

の３つのケースのどれかが起こることがわかる。(A)の起こる確率は $\dfrac{1}{2}$ で、(B)(C)の起こる確率はどちらも $\dfrac{1}{4}$ である。

$n$ ステップ後に石が $2n-2$ にある確率を考える。(A)が $a$ 回、(B)が $b$ 回、(C)が $c$ 回起こるとすると、 $n$ ステップ後には\[ b\times (-2)+c\times 2=2c-2b \]にいることになる。

$b\geqq 1$ とすると $c\leqq n-1$ なので、 $2c-2b\leqq 2n-4$ だから $2n-2$ になることはない。よって、 $b=0$ である。 $2c-2b=2n-2$ だから $c=n-1$ であり、 $a=n-b-c=1$ となる。

$n$ ステップのうち、いつ(A)が起こるかを考えると、 $n$ ステップ後に石が $2n-2$ にある確率は、
\begin{eqnarray} n\times \frac{1}{2}\times \left(\frac{1}{4}\right)^{n-1} =\frac{n}{2^{2n-1} } \end{eqnarray}となる。

答： $\dfrac{n}{2^{2n-1} }$

（終）