京都大学理系 2013年度第5問解説

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問題編

問題

　$xy$ 平面内で、 $y$ 軸上の点 P を中心とする円 $C$ が2つの曲線
\begin{eqnarray} & & C_1: y=\sqrt{3} \log(1+x), \\[5pt] & & C_2: y=\sqrt{3} \log(1-x) \end{eqnarray}とそれぞれ点 A, 点 B で接しているとする。さらに $\triangle \mathrm{ PAB }$ は A と B が $y$ 軸に関して対称な位置にある正三角形であるとする。このとき3つの曲線 $C$, $C_1$, $C_2$ で囲まれた部分の面積を求めよ。

考え方

まずは、点 A の座標を求めましょう。長さと角度の2つの攻め方がありますが、 AB が $x$ 軸と平行なので、角度を使うほうが求めやすいでしょう。

座標を求めた後は、積分をします。 $C, C_1, C_2$ で囲まれた部分を愚直に求めるのは大変なので、工夫して計算しましょう。

解答編

問題

　$xy$ 平面内で、 $y$ 軸上の点 P を中心とする円 $C$ が2つの曲線
\begin{eqnarray} & & C_1: y=\sqrt{3} \log(1+x), \\[5pt] & & C_2: y=\sqrt{3} \log(1-x) \end{eqnarray}とそれぞれ点 A, 点 B で接しているとする。さらに $\triangle \mathrm{ PAB }$ は A と B が $y$ 軸に関して対称な位置にある正三角形であるとする。このとき3つの曲線 $C$, $C_1$, $C_2$ で囲まれた部分の面積を求めよ。

解答

$f(x)=\sqrt{3}\log(1+x)$ とする。

点 A の $x$ 座標を $a$ とする（ $a\gt -1$ ）と、点 B の $x$ 座標は $-a$ で、2点の $y$ 座標はどちらも $f(a)$ である。

\begin{eqnarray} f'(x) &=& \frac{\sqrt{3} }{1+x} \end{eqnarray}なので、点 A における $y=f(x)$ の接線の傾きは $\dfrac{\sqrt{3} }{1+a}$ であり、法線の傾きは $-\dfrac{1+a}{\sqrt{3} }$ である。 AB は $x$ 軸に平行で、 $\angle \mathrm{ PAB }=60^{\circ}$ であり、点 P は法線上にあるから、 \begin{eqnarray} -\frac{1+a}{\sqrt{3} } &=& \pm \sqrt{3} \\[5pt] a+1 &=& \pm 3 \\[5pt] \end{eqnarray}となる。 $a\gt -1$ なので、 $a=2$ である。このとき、対称性から $\angle \mathrm{ PBA }$ も $60^{\circ}$ なので、 $\triangle \mathrm{ PAB }$ は正三角形となる。

曲線 $C, C_1, C_2$ で囲まれた部分のうち、 $y$ 軸より右にある部分を $D$ とおく。また、線分 AP と $y$ 軸と曲線 $C$ で囲まれた部分を $E$ とおき、線分 AP と $y$ 軸と曲線 $C_1$ で囲まれた部分を $E_1$ とおく。 $D$ の面積は、 $E_1$ の面積から $E$ の面積を引いて求められる。

$E$ は、半径が $\mathrm{ PA }=\mathrm{ AB }=4$ で、中心角が $30^{\circ}$ のおうぎ形なので、 $E$ の面積は、\[ 4^2\pi\times\frac{30}{360}=\frac{4}{3}\pi \]である。

直線 AP の方程式は
\begin{eqnarray} y &=& -\frac{1}{f'(a)}(x-a)+f(a) \\[5pt] &=& -\sqrt{3}(x-2)+\sqrt{3}\log3 \\[5pt] \end{eqnarray}なので、 $E_1$ の面積は \begin{eqnarray} & & \int_0^2 \left\{-\sqrt{3}(x-2)+\sqrt{3}\log3-\sqrt{3}\log(1+x)\right\} dx \\[5pt] &=& \left[ -\frac{\sqrt{3} }{2}(x-2)^2 +x\sqrt{3}\log3 -(1+x)\sqrt{3}\log(1+x) \right]_0^2 \\ & & +\int_0^2 \frac{(1+x)\sqrt{3} }{1+x} dx \\[5pt] &=& 2\sqrt{3}\log3 -3\sqrt{3}\log3 +\frac{\sqrt{3} }{2}\cdot (-2)^2 \\ & & +[x\sqrt{3}]_0^2 \\[5pt] &=& -\sqrt{3}\log3 +2\sqrt{3}+2\sqrt{3} \\[5pt] &=& 4\sqrt{3}-\sqrt{3}\log3 \\[5pt] \end{eqnarray}となる。

以上から、 $D$ の面積は $E_1$ の面積から $E$ の面積を引いて求められ、 $C,C_1,C_2$ で囲まれた部分は $D$ の面積の2倍なので、
\begin{eqnarray} & & 2 \times \left( 4\sqrt{3}-\sqrt{3}\log3 -\frac{4}{3}\pi \right) \\[5pt] &=& 8\sqrt{3}-2\sqrt{3}\log3 -\frac{8}{3}\pi \\[5pt] \end{eqnarray}が求める面積となる。

（終）