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京都大学 理系 2006年度後期 第5問 解説

問題編

【問題】
 $H\gt 0$、$R\gt 0$とする。空間内において、原点Oと点$\mathrm{ P }(R,0,H)$を結ぶ線分を、z軸のまわりに回転させてできる容器がある。この容器に水を満たし、原点から水面までの高さがhのとき単位時間あたりの排水量が、$\sqrt{h}$となるように、水を排出する。すなわち、時刻tまでに排出された水の総量を$V(t)$とおくとき、$\displaystyle \frac{dV}{dt}=\sqrt{h}$が成り立つ。このときすべての水を排出するのに必要な時間を求めよ。

【考え方】
容器は円錐なので、体積を求めるのは簡単にできます。条件が使えるように式変形すれば、答えまでたどり着けるでしょう。


解答編

【問題】
 $H\gt 0$、$R\gt 0$とする。空間内において、原点Oと点$\mathrm{ P }(R,0,H)$を結ぶ線分を、z軸のまわりに回転させてできる容器がある。この容器に水を満たし、原点から水面までの高さがhのとき単位時間あたりの排水量が、$\sqrt{h}$となるように、水を排出する。すなわち、時刻tまでに排出された水の総量を$V(t)$とおくとき、$\displaystyle \frac{dV}{dt}=\sqrt{h}$が成り立つ。このときすべての水を排出するのに必要な時間を求めよ。

【解説】
容器は、底面の半径がRで、高さがHの円錐である。よって、この体積は、$\displaystyle \frac{\pi R^2H}{3}$となる。

水面までの高さがhのとき、排水量$V(t)$を考える。残っている水の体積は、底面の半径が$\displaystyle R\cdot\frac{h}{H}$で高さがhの円錐の体積に等しいので、
\begin{eqnarray} V(t) &=& \frac{\pi R^2H}{3}-\frac{1}{3}\pi \left( R\cdot\frac{h}{H} \right)^2 h \\[5pt] &=& \frac{\pi R^2H}{3}-\frac{\pi R^2h^3}{3H^2} \end{eqnarray}とかける。

両辺をtで微分すると、$\displaystyle \frac{dV}{dt}=\sqrt{h}$なので、
\begin{eqnarray} \sqrt{h} &=& -\frac{\pi R^2\cdot 3h^2}{3H^2}\frac{dh}{dt} \\[5pt] &=& -\frac{\pi R^2h^2}{H^2}\frac{dh}{dt} \end{eqnarray}なので、 \begin{eqnarray} 1 &=& -\frac{\pi R^2}{H^2}h^{\frac{3}{2} }\frac{dh}{dt} \end{eqnarray}となる。求める時間を$t_0$とし、両辺を$0$から$t_0$までtで積分すると \begin{eqnarray} t_0 &=& -\int_{0}^{t_0} \frac{\pi R^2}{H^2}h^{\frac{3}{2} }\frac{dh}{dt} dt \\[5pt] &=& -\int_{H}^{0} \frac{\pi R^2}{H^2}h^{\frac{3}{2} }dh \\[5pt] &=& -\left[ \frac{2}{5} \frac{\pi R^2}{H^2}h^{\frac{5}{2} } \right]_{H}^{0} \\[5pt] &=& \frac{2}{5} \frac{\pi R^2}{H^2}H^{\frac{5}{2} } \\[5pt] &=& \frac{2}{5} \pi R^2 \sqrt{H} \\[5pt] \end{eqnarray}となる。

よって、求める時間は、$\displaystyle \frac{2}{5} \pi R^2 \sqrt{H}$となる。

【解答終】

【解説】
排出量を直接hを使って書けるので、出てくる式はそれほど難しくありません。文字は多いですが、変数はほとんどないし、積分も難しくはないので、条件式を使えるように式変形できるかどうかがポイントです。

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