京都大学 理系 2006年度後期 第5問 解説

問題編

【問題】
 $H\gt 0$、$R\gt 0$とする。空間内において、原点Oと点$\mathrm{ P }(R,0,H)$を結ぶ線分を、z軸のまわりに回転させてできる容器がある。この容器に水を満たし、原点から水面までの高さがhのとき単位時間あたりの排水量が、$\sqrt{h}$となるように、水を排出する。すなわち、時刻tまでに排出された水の総量を$V(t)$とおくとき、$\displaystyle \frac{dV}{dt}=\sqrt{h}$が成り立つ。このときすべての水を排出するのに必要な時間を求めよ。

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(2020年09月 時点の情報です)

【考え方】
容器は円錐なので、体積を求めるのは簡単にできます。条件が使えるように式変形すれば、答えまでたどり着けるでしょう。

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