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京都大学 理系 2006年度後期 第3問 解説

問題編

【問題】
 さいころをn個同時に投げるとき、出た目の数の和が$n+3$になる確率を求めよ。

【考え方】
ほとんどの目が1でないといけません。1以外の目がでるパターンは限られているので、場合分けをして確率を考えれば答えにたどり着けます。

別解では、もっと簡単に解く方法を紹介します。


解答編

【問題】
 さいころをn個同時に投げるとき、出た目の数の和が$n+3$になる確率を求めよ。

【解答】
n個のサイコロのうち、1の目が$n-m$個、1以外の目がm個出たとすると、出た目の数の和は、$n-m+2m=n+m$以上になる。これが$n+3$以下になるには、$m\leqq 3$でないといけない。よって、1以外の目が3個以下の場合だけ考えればよい。

まず、$n\geqq 3$の場合を考える。

(1) 1以外の目が3個の場合
1以外の目が3個で、その目の合計は$n+3-(n-3)=6$なので、3個とも2の目となる場合しかない。よって、こうなる確率は
\begin{eqnarray} \frac{ {}_n\mathrm{ C }_3}{6^n} \end{eqnarray}となる。

(2) 1以外の目が2個の場合
1以外の目が2個で、その目の合計は$n+3-(n-2)=5$なので、1以外の目は、「2・3」の組み合わせしかない。よって、こうなる確率は
\begin{eqnarray} \frac{ {}_n\mathrm{ C }_2\times 2}{6^n} = \frac{2{}_n\mathrm{ C }_2}{6^n} \end{eqnarray}となる。

(3) 1以外の目が1個の場合
1以外の目は$n+3-(n-1)=4$の場合しかない。よって、こうなる確率は
\begin{eqnarray} \frac{ {}_n\mathrm{ C }_1}{6^n}= \frac{n}{6^n} \end{eqnarray}となる。

よって、求める確率は、
\begin{eqnarray} & & \frac{ {}_n\mathrm{ C }_3}{6^n} +\frac{2{}_n\mathrm{ C }_2}{6^n} +\frac{n}{6^n} \\[5pt] &=& \frac{1}{6^n}\left( \frac{n(n-1)(n-2)}{6} +\frac{2n(n-1)}{2} +n \right) \\[5pt] &=& \frac{1}{6^n} \cdot \frac{n^3 -3n^2 +2n +6n^2-6n+6n}{6} \\[5pt] &=& \frac{1}{6^n} \cdot \frac{n^3 +3n^2 +2n }{6} \\[5pt] &=& \frac{n(n+1)(n+2)}{6^{n+1} } \quad \cdots (A) \end{eqnarray}となる。

$n=1$のとき、出た目の和が$n+3=4$になる確率は、$\frac{1}{6}$で、(A)で$n=1$としたときと一致する。

$n=2$のとき、出た目の和が$n+3=5$になるのは、「1・4」「2・3」の組み合わせのときなので、こうなる確率は$\frac{4}{36}$となる。これは(A)で$n=2$としたものに等しい。

よって、求める確率は$\displaystyle \frac{n(n+1)(n+2)}{6^{n+1} }$となる。

【解答終】

【解説】
地道に場合分けをして考えるなら、上のように書くことになります。

ただ、もっと簡単に解く方法もあります。出た目の和が$n+3$になる場合の数を、次のようにして考えてみます。$n+3$個のボールを横一列に並べ、各ボールの間($n+2$箇所ある)に$n-1$個の仕切りを入れます。こうしてボールをn個のグループに分けます。このとき、各グループのボールの個数は1から6までの数字であり、合計すると$n+3$になります。つまり、このボールの分け方と、さいころの目の出方は1対1に対応します。

ボールの分け方の総数は、$n+2$箇所に$n-1$個の仕切りを入れる方法の総数なので、${}_{n+2}\mathrm{ C }_{n-1}$となります。よって、求める確率は
\begin{eqnarray} \frac{ {}_{n+2}\mathrm{ C }_{n-1} }{6^n}=\frac{ {}_{n+2}\mathrm{ C }_3}{6^n}=\frac{n(n+1)(n+2)}{6^{n+1} } \end{eqnarray}となり、上の答えと一致します。思いつくのなら、このような方法でも構いません。

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