京都大学 理系 2006年度後期 第1問 解説
問題編
問題
1次式 $A(x),B(x),C(x)$ に対して $\{A(x)\}^2+\{B(x)\}^2=\{C(x)\}^2$ が成り立つとする。このとき $A(x)$ と $B(x)$ はともに $C(x)$ の定数倍であることを示せ。
考え方
式を $a_1x+a_2$ などと置き換えてしまうと、文字が大量に増えて、処理が難しくなります。条件式を変形して、うまい条件が導けないか、試行錯誤してみましょう。
解答編
問題
1次式 $A(x),B(x),C(x)$ に対して $\{A(x)\}^2+\{B(x)\}^2=\{C(x)\}^2$ が成り立つとする。このとき $A(x)$ と $B(x)$ はともに $C(x)$ の定数倍であることを示せ。
解答
\begin{eqnarray} \{A(x)\}^2+\{B(x)\}^2 &=& \{C(x)\}^2 \\ \{A(x)\}^2 &=& \{C(x)+B(x)\} \{C(x)-B(x)\} \\ \end{eqnarray}が成り立つ。最後の式の左辺は2次式なので、右辺も2次式となる。よって、 $\{C(x)+B(x)\}$ も $\{C(x)-B(x)\}$ も定数ではなく1次式であり、両方とも $A(x)$ で割り切れる。このため、その和 $2C(x)$ も $A(x)$ で割り切れる。両方とも1次式なので、 $A(x)$ は $C(x)$ の定数倍となる。$\{C(x)+B(x)\}$ が $A(x)$ の定数倍だから、 $B(x)$ も $A(x)$ の定数倍となるので、 $C(x)$ の定数倍となる。以上から、 $A(x)$ と $B(x)$ はともに $C(x)$ の定数倍となる。
（終）
解説
この問題で、係数が実数なのか複素数なのか、が書かれていないのは少し不親切ですね。
もし係数が実数であれば、解答は次のようにすることもできます。 $a^2+b^2=0$ なら $a=b=0$ というのを使っています。
＜参考（「係数は実数である」という条件がついていた場合）＞
$A(x)$ を $C(x)$ で割ったときの商を $q_a$ 、余りを $r_a$と する。 $B(x)$ を $C(x)$ で割ったときの商を $q_b$ 、余りを $r_b$ とする。また、 $C(x)=0$ の解を $x_1$ とする。
このとき、\[ \{q_aC(x)+r_a\}^2+\{q_bC(x)+r_b\}^2=\{C(x)\}^2 \]が成り立ち、 $x=x_1$ とすると、\[ r_a^2 +r_b^2 = 0 \]が成り立つ。よって、 $r_a=r_b=0$ なので、 $A(x)$ と $B(x)$ はともに $C(x)$ の定数倍となる。
（終）
